[数学]三角恒等变换 海南学习网.ppt

复 习 回 顾 [例2]计算(1)cos15°cos105°＋sin15°sin105°； (2)sinxsin(x＋y)＋cosxcos(x＋y)； (3)cos(α－35°)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)． [分析]　根据平方关系求出sinα，cosβ，从而可求出sin(α－β)． [分析]　这是“给值求角”问题，首先设法求出cosβ的值，依其所在象限来确定β的值．解决这类问题我们应先“变角”，从题设可知β＝(α＋β)－α，再确定角β所在范围． [例3]　已知tanα、tanβ是方程x2＋x－6＝0的两个根，求sin2(α＋β)－3sin(α＋β)·cos(α＋β)－3cos2(α＋β)的值． 方 法 归 类 知 识 框 图 典 例 分 析 1 求函数 的周期,最大值和最小值. 巩固练习 2已知函数 ,求它的单调增区间. 3.求下列函数的最大值和最小值: ． 练习 讲解范例： 例3. 已知函数 点评： 例3是三角恒等变换在数学中应 用的举例，它使三角函数中对函数 y＝Asin(?x+?)的性质研究得到延伸， 体现了三角变换在化简三角函数式 中的作用． 讲解范例： 例4. 若函数 上的最大值为6，求常数 m的值及此函数当x∈R时的最小值及 取得最小值时x的集合. 课堂小结 3. 三角变形技巧和代数变形技巧 常见的三角变形技巧有 ① 切割化弦； ② “1”的变用； ③ 统一角度，统一函数， 统一形式等等． 湖南省长沙市一中卫星远程学校 例1. 如图，已知OPQ是半径为1，圆心 角为 讲解范例： 的扇形，C是扇形弧上的动点， ABCD是扇形的内接矩形. 记∠COP＝?，求当角? 取何值时，矩形ABCD的 面积最大？并求出这个 最大面积. O A B D C Q P ? 讲解范例： 例2. 把一段半径为R的圆木锯成横截面 为矩形的木料，怎样锯法能使横截面的 面积最大？（分别设边与角为自变量） ? 讲解范例： 变式.已知半径为1的半圆，PQRS是半圆 的内接矩形如图，问P点在什么位置时， 矩形的面积最大，并求最大面积时的值． P Q R S O 三角恒等变换实际上是对角、函数名称，以及函数形（结构）的变换，这类问题，无论是求值化简证明以及复杂的综合问题，一般的考虑方法是： ⑴ 找差异：角、名、形的差异； ⑵ 建立关系：角的和差关系、倍半关系等，名、形之间可以用哪个公式联系起来； ⑶ 变公式：在实际变换过程中，往往需要将公式加以变形后，正用或逆用公式. * * 1、两角和与差的正弦、余弦和正切 练习 练习 2、倍 角 公 式 注：正弦与余弦的倍角公式的逆用实质上就是降幂的过程。特别 3、半角公式 注：在半角公式中，根号前的正负号，由角 所在 的象限确定. 例2、化简： 解：法一：切化弦，减少函数名 法二：利用半角公式 原式 原式 原式 法三： 利用结构特点 注：在三角恒等变换中，对于函数名称比较多的情况，一般是进行弦切的互化，尽量减少函数名称，便于化简. 例3、已知， 化简： 解：原式 又∵ ∴ ∴ 原式 注：⑴ 根号下含有三角函数式的开根号问题，需要升幂； ⑵ 本题最关键的是开出根号后，去绝对值的问题，这里需要对角的范围进行限定. 化简、证明问题 例6.若 ，设 ， （1）写出函数 f(x)的解析式，并指出它的最小正周期； （2）若 ， f(x)的最小值为2，求m的值。 巩固练习 1.设函数y=acosx+b(a,b是常数)的最大值为1,最小值为-7,则acosx+bsinx的最小值为____________. 2.函数 的最大值是_______. 3.已知函数 ,求它的周期及最小值. 4.求函数 的单调递减区间. *