[数学]习题课-函数.ppt

解： 证明： 证明： 解： 证明： 解： 另法： 解： ~ 解： 习 题 课 一、 函数 1. 函数的概念 定义: 定义域 值域 图形: ( 一般为曲线 ) 设 函数为特殊的映射: 其中 2. 函数的特性 有界性 , 单调性 , 奇偶性 , 周期性 3. 反函数 设函数 为单射, 反函数为其逆映射 4. 复合函数 给定函数链 则复合函数为 5. 初等函数 有限个常数及基本初等函数 经有限次四则运算与复 复合而成的一个表达式的函数. 1. 极限定义的等价形式 (以 为例 ) 有 2. 极限存在准则及极限运算法则: 二、极限 夹逼定理，单调有界原理，Cauchy 收敛准则； 四则运算及复合运算； 3. 无穷小 无穷小的性质 ; 无穷小的比较 ;高阶无穷小运算； 常用等价无穷小: 4. 两个重要极限： 6. 判断极限不存在的方法：子列极限，左右极限。 5. 求极限的基本方法： 根式有理化，三角函数和差化积，非零因子提取，等价无穷小替换； 7. 函数连续的等价形式 有 8. 函数间断点 第一类间断点: 第二类间断点 可去间断点：极限存在，加补或修改定义值； 左右极限存在但不相等； 无穷间断点 振荡间断点 9. 闭区间上连续函数的性质： 最值定理，介值定理， 零点值定理。 重点： 数列极限和函数极限的概念； 极限运算法则和极限存在准则； 两个重要极限； 函数连续性概念； 初等函数的连续性； 闭区间上连续函数的性质。 求极限的常用方法 利用初等函数的连续性； 利用极限运算法则； 利用有界量与无穷小的乘积仍为无穷小的结论； 等价无穷小代换； 两个重要极限； 分段函数在分段点处的极限，利用极限的定义，若再分段点两侧表达式不一样，则考虑求左、右极限。 证明: 证明: 例3. 求下列极限： 提示: 无穷小 有界 令 ～ 例4. 确定常数 a , b , 使 解: 原式 故 于是 而 解： 解: 设其为 的 阶无穷小, 则 因 故 证明: 解： 解： 解： 解： 另法： 证明： 解： 证明：