[数学]二次函数.doc

二次函数y = ax2 +bx + c（）的性质 1、顶点坐标公式：， 对称轴：，最大（小）值： 2.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式; (2)顶点式; (3)两根式. 一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：一般式：y=ax^2+bx+c(a≠0，a、b、c为常数)，则称y为x的二次函数。顶点式：y=a(x-h)^2+k;交点式（与x轴）：y=a(x-x1)(x-x2). 基本定义 ??二次函数及其图像 一般地，把形如y=ax^2+bx+c（其中a，b，c是常数，a≠0，bc可以为0）的函数叫做二次函数（quadratic function），其中a称为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。x为自变量，y为因变量。等号右边自变量的最高次数是2。二次函数图像是轴对称图形。对称轴为直线x=-b/2a.[1]顶点坐标[-b/2a,(4ac-b^2)/4a] 注意：“变量”不同于“自变量”，不能说“二次函数是指自变量的最高次数为二次的多项式函数”。“未知数”只是一个数（具体值未知，但是只取一个值），“变量”可在实数范围内任意取值。在方程中适用“未知数”的概念（函数方程、微分方程中是未知函数，但不论是未知数还是未知函数，一般都表示一个数或函数——也会遇到特殊情况），但是函数中的字母表示的是变量，意义已经有所不同。从函数的定义也可看出二者的差别.如同函数不等于函数的关系。[2-3] 编辑本段函数性质 1.二次函数是抛物线，但抛物线不一定是二次函数。开口向上或者向下的抛物线才是二次函数。抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x = -b/2a。对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0） 2.抛物线有一个顶点P，坐标为P ( -b/2a ，(4ac-b^2)/4a )当-b/2a=0时，P在y轴上；当Δ= b^2-4ac=0时，P在x轴上。 3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。当a0时，抛物线向上开口；当a0时，抛物线向下开口。|a|越大，则抛物线的开口越小。 4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。当a与b同号时（即ab0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab0），对称轴在y轴右。 5.常数项c决定抛物线与y轴交点。抛物线与y轴交于（0，c） 6.抛物线与x轴交点个数:Δ= b^2-4ac0时，抛物线与x轴有2个交点。Δ= b^2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。当Δ= b^2-4ac0时，抛物线与x轴没有交点。X的取值是虚数（x= -b±√b^2－4ac 的值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以2a） 当a0时，函数在x= -b/2a处取得最小值f(-b/2a)=4ac-b^2/4a；在{x|x-b/2a}上是减函数，在{x|x-b/2a}上是增函数；抛物线的开口向上；函数的值域是{y|y≥4ac-b^2/4a}相反不变; 当b=0时，抛物线的对称轴是y轴，这时，函数是偶函数，解析式变形为y=ax^2+c(a≠0). 7.定义域：R 值域：（对应解析式，且只讨论a大于0的情况，a小于0的情况请读者自行推断） ①[(4ac-b^2)/4a，正无穷）； ②[t，正无穷）　　奇偶性：偶函数　　周期性：无　　解析式： ①y=ax^2+bx+c[一般式]　　⑴a≠0　　⑵a0，则抛物线开口朝上；a0，则抛物线开口朝下；　　⑶极值点：（-b/2a，(4ac-b^2)/4a）；　　⑷Δ=b^2-4ac,　　Δ0，图象与x轴交于两点：　　（[-b+√Δ]/2a，0）和（[-b-√Δ]/2a，0）；　　Δ=0，图象与x轴交于一点：　　（-b/2a，0）；　　Δ0，图象与x轴无交点；　　②y=a(x-h)^2+t[配方式]　　此时，对应极值点为（h，t），其中h=-b/2a，t=(4ac-b^2)/4a）；[4] 编辑本段表达式 一般式 y=ax^2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为 [-b/2a,(4ac-b^2)/4a][5] 把三个点代入函数解析式得出一个三元一次方程组，就能解出a、b、c的值。[3] 顶点式 y=a(x-h)2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为[6]对称轴为直线x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax2的图像相同，当x=h时，y最值=k.有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。 例：已知二次函数y的顶点(1,2)和另一任意点(3,10)，求y的解析式。 解：设y=a(x-1)2+2，把(3,10)代入上式，解得y=2(x-1)2+2。 注意：与点在平面直角坐标系中的平移不同，二次函数平移后的顶点式中，h0时，-h越大，图像的对称轴离y轴越远，且在x轴正方向上，不能因h前