[数学]导数应用.ppt

求最大值与最小值步骤: (1)求驻点和不可导点; (2)求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比较大小, 最大者为最大值, 最小者为最小值. 解 计算得 例20 求函数 在 上的最值. 比较得: 令 得驻点 时, 不存在. 练习：求函数 在 上的最值. 四、曲线的凹凸性与拐点 凹 凸 定义2 则称 是 上的凹函数( 或凸函数 )，亦称 曲线 在 上是凹的( 或凸的）. 问题:如何判断曲线的凹凸性呢? 通过观察可知 若 , 则曲线在区间[a,b]上凹的; 若 ，则曲线在区间[a,b]上凸的。 定理 例21 解 注意： 例22 解 连续曲线上凹凸部分的分界点称为曲线的拐点. 注意：在拐点处二阶导数为零或二阶导数不存在. 例23 解 x=0 是二阶导数不存在的点。 求拐点的步骤: 解 例24 讨论曲线 的凹凸性及拐点. 凹的 凸的 凹的 有拐点 有拐点 不存在 故 和点 是曲线的拐点. 例25 解 x=0 是二阶导数为零的点。 定义 五、函数曲线的渐近线 例如： 是曲线 的垂直渐近线, 是曲线 的垂直渐近线. 1.垂直渐近线 2.水平渐近线 例如: 有两条水平渐近线 例26 求曲线 渐近线. 3.斜渐近线 如果 且 解 故 是曲线的垂直渐近线; , , . 七、函数作图 利用函数特性描绘函数图形步骤: 第二步 判断函数的周期性与奇偶性; 求函数 的定义域,以确定图像的范围; 第一步 第四步 求 的一阶导数和二阶导数, 并在定义域 找出使两个导数为零和不存在的点. 这些点把定义域分 成若干区间. 在每个区间上讨论函数的单调性与凹凸性, 并给出函数的极值与拐点. 第五步 补充一些辅助点的坐标，描绘函数图形. 第三步 确定曲线的渐近线; 例27 描绘函数 的图像. 解 函数 的定义域为 . 故 为曲线的垂直渐近线; 故 为曲线的斜渐近线. 令 得 令 得 ; 在x=1处，一阶导数与二阶导数不存在. 有拐点 取极 小值 不存在 不存在 不存在 ,补充 根据以上信息绘出图形 例28 解 偶函数, 图形关于 y 轴对称. 有 拐点 极 大值 有 拐点 导数的应用 一、拉格朗日(Lagrange)中值定理 二、洛必达(L’Hospital)法则 三、函数的单调性与极值 四、曲线的凹凸性与拐点 五、函数曲线的渐近线 六、函数图形的描绘 一、拉格朗日中值定理 定理1 如果函数 在闭区间 上连续,在开区间 上可导,则在 内至少存在一点 ,使得 或 几何解释 推论1 证 推论2 例1 证明 证明 例如： 二、洛必达法则 1、 定理2 洛必达法则 如果函数 与 满足下列三个条件 （1）当 时, 函数 与 都趋于 或都趋 于 ； （2）当 时, 函数 与 都存在, 且 ; （3） 存在或者为无穷大； 则 注：上述定理适用于任意一个极限过程。 例2 解 例3 解 例4 解 例5 解 方法 2、 （1） 例6 解 方法 （2） 例7 解 方法 （3） 解 例8 解 例9 解 例10 洛必达法则失效! 解 利用洛必达法则得 例11 (两边同乘以