[数学]微分方程建模.ppt

微 分 方 程 建 模 4.数学物理反问题简介 现在的问题变为由微分方程（1）和额外的测量（2）来确定源项 。我们不拘泥于数学理论（这太专业了），只了解一下这样的问题的一般数值解法： 由于 未知，那么微分方程无法直接求解，这是反问题数值计算的麻烦。 由数学物理方程知： Euler 方法较为简单, 但也较为粗糙, 对形式较复杂的微分方程更易有较大的误差. 人们设计了不少更精确的近似算法, 这里我们介绍其中的一种, 进一步研究可看参考书. Ⅱ . 改进的 Euler 方法 (预报---校正法) 以一维情况为例, 对问题 Euler 迭代格式是 其中 而改进的 Euler 迭代格式则是 其中 由积分表达式 的几何意义看,右边为 下方的曲边梯形, 从图 3.2 我们可以看出 Euler 法是用矩形来代替曲边梯形, 而改进的 Euler 法则是用梯形来代替曲边梯形. 对问题 (3.18) ~ (3.20) , 我们写出相应的改进 Euler 迭代格式 表 3.6 和表 3.7 分别列出了取步长 为 0.1 和 0.05 时的计算结果: 表 3.6 k tk xk yk 0 0.0 0.000 00 0.000 00 1 0.1 2.680 77 44.839 73 2 0.2 12.575 24 88.286 79 3 0.3 22.072 42 130.255 69 此时取 表 3.7 k tk xk yk 1 0.05 0.518 68 22.488 04 2 0.10 2.105 96 44.921 95 3 0.15 5.098 21 67.202 13 4 0.20 10.160 96 89.069 06 5 0.25 19.656 46 108.978 98 6 0.30 24.240 89 130.990 30 此时取 表 3.8 是对应不同的 , 用改进的 Euler 法所得相应的步长推进次数 n 和计算结果. 表 3.8 0.1 0.05