[数学]微积分导数的概念及运算法则.ppt

函数与极限 ? f (x) 在 x = 0 处可导, 从而 f (x) = 1 + bx, x≤0 e – x, x 0 f (0) = 1 ? f (x) 在 x = 0 处连续, f (0) = a . 解 设 a + bx, x 0 求 a, b 之值. e – x, x 0 y = 在 x = 0 可导, 练习 由可导性： 故 b = –1, 此时函数为 f (x) = 1? x , x ≤ 0 e – x, x 0 f (x) = 1 + bx, x≤0 e – x, x 0 f (0) = 1 P46 习题2-1一、1，3 第二章 导数与微分 第2节 求导法则和基本公式 定理 和、差、积、商的求导法则 推论 例1 解 例2 解 例3 解 同理可得 * * 主讲教师： 李晓沛 第二章 导数与微分 第1节 导数概念 导数产生的背景 导数定义 求导举例 导数的几何意义 导数概念 可导与连续的关系 一.导数产生的背景 1. 物理背景 2. 几何背景 变速直线运动 物体作匀速直线运动时, 有, 这一速度其实是物体走完某一段路程的平均速度，平均速度记作V. 由于匀速运动 物体的速度是不变的，因此 1.物理背景 由于变速直线运动物体的速度 V(t) 是变的，因此，用这个公式算出的平均速度 V 不能真实反映物体在时刻 t0 的瞬时速度 V(t0). 如何求V(t0)? 如图 ? ? ? S S(t0) S(t0+?t) 0 在 [t0, t0+?t] 这段时间内物体的平均速度为 ?t越小，近似值 就越接近精确值V(t0). V(t0)=? 平面曲线上切线的概念 割线PQ 切线PT 切点 2. 几何背景 — 平面曲线的切线问题 沿曲线趋近于点 A 时的极限位置. 平面曲线 y = f (x) 的切线： 曲线在点 A(x0, y0) 处的切线 AT 为过曲线上 点 A 的任意一条割线 AA’ 当点 A’(x0+?x, y0+ ?y) 定义 切线方程: 其中, (1) 建立一个函数关系 y = f (x) x?I . (2) 求函数由 x0 到 x0+ ?x 的平均变化率： 解决与速度变化或变化率相关问题的步骤: (3) 求 ?x ? 0 的极限： 小结 设函数 f (x) 在 U(x0) 有定义, 且 x0+?x ? U(x0). 则称函数 f (x) 在点 x0 处可导, 极限值 a 称为 f (x) 在 如果极限 存在, 点 x0 处的导数. 记为 定义 1. 导数的定义 二.导数的概念 如果函数 f (x) 在点 x0 处可导, 则 存在，则称 f (x)在x0可导(或称f (x)在 x0 的导数存在). 否则，称 f (x)在x0不可导(或称 f (x)在 x0的导数不存在). 特别 注1. 若 设函数 f (x) 在 [x0 , x0+? ) 内有定义, 若 则称 a 为 f (x) 在点 x0 处的右导数. 记为 2.左、右导数 定义 则称 a 为 f (x) 在点 x0 处的左导数. 记为 定理 设函数 f (x) 在 (x0-? ,x0], 内有定义, 若 3. 导函数 若 ? x?(a, b), 函数 f (x) 皆可导, 则说 f (x) 在 (a, b) 内可导. 这时 f ?(x) 是关于 x 的一个新函数, 称之为 f (x) 在 (a, b) 内的导函数. 通常我们仍称之 为 f (x) 在 (a, b) 内的导数： 定义 函数在点 x0? I 处的导数: 若 f (x) 在 (a, b) 内可导, 且 存在, 则称 f (x )在 [a, b] 上可导, f ?(x) 称为 f (x) 在 [a, b] 上 的导函数, 简称为导数. 先求导、后代值. 定义 4. 求函数的导数 求导数可分为如下几步： 1.写出函数的增量 2. 算比值 3.求极限 例1 或重要极限 ? ? 和差化积 等价无穷小 （仿照正弦函数的推导方法） ? ? (x?) = ? x??1 总 结 5. 导数的几何意义 此时, 切线方程为: 函数 f (x) 在点 x0 的导数 f ?( x0) 就是对应的平面 曲线 y = f (x) 在点 (x0, y0) 处的切线的斜率 k : ` 5. 导数的几何意义 切线平行于x 轴： 曲线 y = f (x)