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[数学]数值计算方法5
Numerical Analysis
Chapter 5
Numerical Methods for Differential
Equations
兰州交通大学数理与软件工程学院
5.1 Initial-Value Problems for Numerical Analysis
Ordinary Differential Equations
Initial-Value Problems for Ordinary Differential Equations
dy
f t ,y , a ≤t ≤b , y a α .
( ) ( )
dt
Definition 5.1 A function ( ) is said to satisfy the
f t y ,
Lipschitz condition in the variable y on a set D ⊂ R 2 if
there exists a constant L 0 such that
( ) ( )
f t y f t y − L, y y≤ , 1 − 2 1 2 ,
t, y , t, y ∈D
where ( 1 ) ( 2 ) . The constant L is called the
Lipschitz constant off .
Example If D {(t , y ) 1 ≤ t ≤ 2, −3 ≤ y ≤ 4} and f t ,y t y ,
( )
then
f (t, y ) − f (t, y ) t y =− t y t y =− y ≤ 2 y − y
1 2 1 2 1 2 1 2
兰州交通大学数理与软件工程学院
5.1 Initial-Value Problems for Numerical Analysis
Ordinary Differential Equations
Theorem 5.4 Suppose that D {(t , y ) a =≤ t ≤ b, −∞ ≤ y ≤ +∞}
and thatf (t, y) is continuous on D . If f satisfies the
Lipschitz condition on D in the variable y , then the
initial-value problem
dy
f t ,y , a ≤t ≤b , y a α .
( ) ( )
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