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第四部分 数列 一、等差数列常见结论 判断给定的数列是等差数列的方法 定义法：是常数数列是等差数列； 通项公式法：数列是等差数列； 前n项和法：数列的前n项和 数列是等差数列； 等差中项法：数列是等差数列； 等差数列的通项公式的推广和公差的公式： ； 若A是a与b的等差中项 若数列，都是等差数列且项数相同，则都是等差数列； 等差数列中，若项数成等差数列，则对应的项也成等差数列； 等差数列中，隔相同的项抽出一项所得到的数列仍为等差数列； 若数列是等差数列，且项数满足，则，反之也成立；当时，，即的等差中项； 若数列是等差数列的充要条件是前n项和公式，是n的二次函数或一次函数且不含常数项，即； 若数列的前n项和，则数列从第二项起是等差数列； 若数列是等差数列，前n项和为，则也是等差数列，其首项和的首项相同，公差是公差的； 若数列，都是等差数列，其前n项和分别为，则； 若三个数成等差数列，则通常可设这三个数分别为；若四个数成等差数列，则通常可设这四个数分别为； 等差数列的前n项和为，且分别为数列的前m项,2m项,3m项,4m项,……的和，则成等差数列（等差数列的片段和性质）； 等差数列中，若项数n为奇数，设奇数项的和和偶数项的和分别为，则；若项数n为偶数，； 在等差数列中，若公差，则等差数列为递增数列；若公差，则等差数列为递减数列；若公差，则等差数列为常数列； 有关等差数列的前n项和为的最值问题： 何时存在最大值和最小值 若，则前n项和为存在最大值 若，则前n项和为存在最小值 如何求最值 方法一：（任何数列都通用）通过解出n可求前n项和为的最大值；通过解出n可求前n项和为的最小值； 方法二：利用等差数列前n项和的表达式为关于n的二次函数且常数项为0（若为一次函数，数列为常数列，则前n项和不存在最值）,利用二次函数求最值的方法进行求解；有以下三种可能： 若对称轴n正好取得正整数，则此时n就取对称轴；若对称轴不是正整数，而是靠近对称轴的相邻的两个整数的中点值，则n取这两个靠近对称轴的相邻的两个整数；若对称轴即不是正整数，又不是靠近对称轴的相邻的两个整数的中点值，则n就取靠近对称轴的那个正整数； 利用等差数列的相关性质求解 17，用方程思想处理等差数列中求相关参数问题，对于这五个量，知任意三个可以求出其它的两个，即“知三求二” 等比数列常见结论 对等比数列定义的理解 是从第二项开始，每一项与前一项的比 每一项与前一项的比试同一个常数，且这个常数不为0 等比数列中任何一项都不为0 符号语言的描述：若数列中满足（不为0的常数），则数列为等比数列； 当且仅当两个数a和b同号是才存在等比中项，且等比中项为 若成等比数列，则 判断给定的数列是等比数列的方法 （1）定义法：（不为0的常数）数列为等比数列； （2）中项法：数列为等比数列； 前n项和法：数列的前n项和（A是常数，）数列为等比数列； 等比数列通项公式的推广：若为等比数列，则 若数列是等比数列，且项数满足，则，反之也成立；当时，，即的等比中项； 等比数列中，若项数成等差数列，则对应的项也等比数列； 等比数列中，隔相同的项抽出一项所得到的数列仍为等比数列； 若数列，都是等比数列且项数相同，则都是等比数列； 若等比数列的公比为参数，则在求前n项和时应分两种情况讨论，即；当时 若三个数成等比数列，通常可设这三个数分别为； （等比数列的片段和性质）公比不为的等比数列前n项和为，则成等比数列； 用方程思想处理等比数列相关参数问题，对于这五个量，知任意三个可以求出其它的两个，即“知三求二”； 三、等差与等比数列 若正项数列为等比数列，则数列为等差数列； 若数列为等差数列，则数列为等比数列； 任意两数都存在等差中项为，但不一定都存在等比中项，当且仅当同号时才存在等比中项为； 任意常数列都是等差数列，但不一定都是等比数列，当且仅当非零的常数列即是等差数列又是等比数列； 四、例题分析 例1、（12年广东文12）若等比数列{an}满足则 . 【命题意图】此题考查等比数列的通项公式，考查等比数列的性质，即若数列是等比数列，且项数满足，则，反之也成立；当时，，即的等比中项； 【解析】 例2、（12重庆理1）在等差数列中，，则的前5项和=（ ） A、7 B、15 C、20 D、25 【解析】此题考查等差数列的求和公式，可以利用“若数列是等差数列，且项数满足，则，反之也成立；当时，，即的等差中项；”此结论快速求解 因为，，所以，所以数列的前5项和,选B. 例3、(12全国卷理5)已知等差数列的前n项和为，，则数列的前100项和为( )A、 B、 C、 D、 【解析】此题考查等差数列的通项公式和求和公式，考