[数学]数字图像处理 第7章_小波变换.ppt

波和小波－波与小波之间的差异 生动的例子：小波和音乐 * 第七章 频域处理 7.7 小波变换简介 7.7.1 小波变换的背景介绍 图 像 金 字 塔 用哈尔基函数的离散小波变换 7.7.2 小波变换的理论基础 传统的傅立叶变换(FT)：提供了有关频率域的信息，但有关时间（空间）的局部化信息却基本丢失。 小波变换(WT)：提供局部分析与细化的能力，可聚焦到分析对象的任意细节————“数学显微镜“。 连续小波变换 (Continuous Wavelet Transform， CWT)  小波分析就是把一个信号分解为将母小波经过缩放和平移之后的一系列小波，因此小波是小波变换的基函数。小波变换可以理解为用经过缩放和平移的一系列小波函数代替傅立叶变换的正弦波和余弦波进行傅立叶变换的结果。 上部两条曲线是频率不同的余弦波，持续宽度相同。底下的两条是沿着轴向频率和位置都不相同的小波。最古老又最简单的小波 －Haar小波 ，它的基向量都是由一个函数通过平移和伸缩来产生的。 乐谱可以看作描绘了一个二维的时频空间。频率(音高)从层次的底部向上增加，而时间(以节拍来测度)则向右发展。乐章中每一个音符都对应于一个将出现在这首歌的演出记录中的小波分量(音调猝发)。每一个小波持续宽度都由音符(为四分之一音符、半音符等)的类型来编码。 分析一次所记录下的音乐演出并写出相应的乐谱，那么可以说我们得到一种小波变换。同样，音乐家一首歌的演奏录音就可看作是一种小波逆变换，因为它是用时频表示来重构信号的。 连续小波变换的定义 ： 该式表示小波变换是信号f(x)与被缩放和平移的小波函数ψ()之积在信号存在的整个期间里求和的结果。CWT的变换结果是许多小波系数C，这些系数是缩放因子（scale）和平移（positon）的函数。 基本小波函数ψ()的缩放和平移操作含义如下：  (1) 缩放——压缩或伸展基本小波， 缩放系数越小， 则小波越窄，如图所示。 小波的缩放操作 (2) 平移——小波的延迟或超前。在数学上， 函数f(t)延迟k的表达式为f(t-k)，如图所示。 小波的平移操作 (a) 小波函数ψ(t)； (b) 位移后的小波函数ψ(t-k) CWT计算的主要步骤：  （1）取一个小波， 将其与原始信号的开始一节进行比较。 （2）计算数值C， C表示小波与所取一节信号的相似程度，计算结果取决于所选小波的形状。 （3）向右移动小波，重复（1）和（2）,直至覆盖整个信号。 （4）伸展小波， 重复（1）至（3）。 （5）对于所有缩放，重复（1）至（4）。 计算系数值C 计算平移后系数值C 计算尺度后系数值C 小波的缩放因子与信号频率之间的关系是：缩放因子scale越小，表示小波越窄，度量的是信号的细节变化，表示信号频率越高；缩放因子scale越大， 表示小波越宽，度量的是信号的粗糙程度，表示信号频率越低。 2. 离散小波变换 （ Discrete Wavelet Transform ，DWT） 如果缩放因子和平移参数都选择为2j（j0且为整数）的倍数， 即只选择部分缩放因子和平移参数来进行计算，会使分析的数据量大大减少。使用这样的缩放因子和平移参数的小波变换称为双尺度小波变换（Dyadic Wavelet Transform），它是离散小波变换（Discrete Wavelet Transform， DWT）的一种形式。通常离散小波变换就是指双尺度小波变换。 离散小波变换的有效方法是使用滤波器， 该方法是Mallat于1988年提出的，称为Mallat算法。 S表示原始的输入信号， 通过两个互补的滤波器组， 其中一个滤波器为低通滤波器，通过该滤波器可得到信号的近似值A（Approximations），另一个为高通滤波器， 通过该滤波器可得到信号的细节值D（Detail）。 小波分解示意图 在小波分析中，近似值是大的缩放因子计算的系数，表示信号的低频分量，而细节值是小的缩放因子计算的系数，表示信号的高频分量。 小波分解树（Wavelet Decomposition Tree） 小波分解下采样示意图 3. 小波重构（Wavelet Reconstruction） 将信号的小波分解的分量进行处理后，一般还要根据需要把信号恢复出来，也就是利用信号的小波分解的系数还原出原始信号，这一过程