[数学]数学2--1课件2422.ppt

又A（x1,y1）、B（x2,y2）是抛物线和直线的交点， 由 消去y得x2-3px+ =0, ∴x1+x2=3p,将其代入①得p=2, ∴所求抛物线方程为y2=4x. 当抛物线方程设为y2=-2p′x(p′0)时， 同理可求得抛物线方程为y2=-4x. ∴抛物线方程为y2=4x或y2=-4x. 【变式训练】已知抛物线顶点在原点，焦点在x轴上，又知此抛物线上一点A（4，m）到焦点的距离为6. （1）求此抛物线的方程； （2）若此抛物线方程与直线y=kx-2相交于不同的两点A、B，且AB中点横坐标为2，求k的值. 【解析】（1）由题意设抛物线方程为y2=2px(p0)，其 准线方程为x=- ∵A（4，m）到焦点的距离等于A到其准线的距离, ∴4+ =6,∴p=4, ∴此抛物线的方程为y2=8x. （2）由 消去y得k2x2-(4k+8)x+4=0， ∵直线y=kx-2与抛物线相交于不同的两点A、B，则有 解得k-1且k≠0,由题知 =4,解得k=2或k=-1（舍去）, ∴所求k的值为2. 抛物线中的对称问题 对对称问题的几点认识 （1）对称问题是高考的热点之一，常见问题有曲线上存在两点关于某条直线对称，求参数的取值范围. （2）解决该类问题的关键是抓住以对称的两点为端点的线段与对称轴垂直且被对称轴平分，或者利用弦中点在曲线内部，建立参数不等式求解，或者利用根与系数的关系、中点坐标公式和根的判别式建立参数不等式求解. 【例3】在抛物线y2=4x上恒有两点关于直线l:y=kx+3对称，求k的取值范围. 【审题指导】若设B、C两点关于直线y=kx+3对称，则B、C两点应在抛物线上，满足①直线BC垂直于直线y=kx+3；②线段BC的中点在直线y=kx+3上.易得直线BC：x=－ky+m，由B、C两点关于直线y=kx+3对称可得m与k的关系式，而直线BC与抛物线有两交点，∴Δ＞0，即可求得k的范围. 【规范解答】设抛物线上两点B、C关于直线y=kx+3对称，直线BC方程为x=-ky+m，代入y2＝4x，得 y2+4ky－4m=0， 设B（x1，y1）、C（x2，y2），BC中点M（x0，y0）， 则y0＝ ＝－2k，x0＝2k2+m. ∵点M（x0，y0）在直线l上， ∴－2k=k（2k2＋m）+3. ∴m=－ 又∵BC与抛物线交于不同两点， ∴Δ＝16k2＋16m＞0. 把m代入化简得 ＜0， 即 ＜0，解得－1＜k＜0. 【变式训练】抛物线y=2x2上两点A(x1,y1)、B(x2,y2)关 于直线y=x+m对称，且x1x2=- 则m等于( ) (A) (B)2 (C) (D)3 【解题提示】解答本题可运用“点差法”，寻求 x1+x2与 的关系，可知 =kAB=-1，由x12+ x22=(x1+x2)2-2x1x2可求得y1+y2，据此可得m的值. 【解析】选A.kAB= =-1, ∴y2-y1=2(x22-x12)=2(x2+x1)(x2-x1), ∴x2+x1= ∴y1+y2=2(x12+x22)=2［(x1+x2)2-2x1x2］ ∴AB的中点为(- ). 又AB的中点在直线y=x+m上， ∴ +m，∴m= 故选A. 【典例】(12分)过点Q(4,1)作抛物线y2=8x的弦AB，若弦AB恰被Q点平分，求弦AB所在直线的方程. 【审题指导】类比椭圆与双曲线，涉及弦中点问题，优先解法应是设而不求的“点差法”，而对于抛物线的弦中点问题更能体现出这种解法的优越性，当然本题使用中点坐标公式也不失为一种很好的解法. 【规范解答】方法一：设以Q为中点的弦AB的端点的坐标为A（x1,y1）,B(x2,y2)，则y12=8x1,y22=8x2, …………………………………………………………2分 两式相减，得（y1-y2）(y1+y2)=8(x1-x2). 又x1+x2=8,y1+y2=2,6分 ∴k= =4.………………………………8分 ∴所求直线AB的方程为y-1=4(x-4),…………………10分 即4x-y-15=0.…………………………………………11分 经检验所求4x-y-15=0符合题意.……………………12分 方法二：设弦AB所在的直线方程为 y=k(x-4)+1(k≠0),……………………………………2分 由 消去x并整理，得 ky2-8y-32k+8=0 ①………………………………6分 设A（x1,y1）,B(x2,y2)，由根与