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数理统计建模 直方图 直方图：频率直方图和累积频率直方图 直方图 在质量管理中，如何预测并监控产品质量状况?如何对质量波动进行分析?直方图就是一目了然地把这些问题图表化处理的工具。它通过对收集到的貌似无序的数据进行处理，来反映产品质量的分布情况，判断和预测产品质量及不合格率。 直方图绘制方法 直方图绘制6步法 ①集中和记录数据，求出其最大值和最小值。（数据的数量应在100个以上，在数量不多的情况下，至少也应在50个以上）  ②将数据分成若干组，并做好记号。（分组的数量在6－20之间较为适宜）  ③计算组距的宽度。用组数去除最大值和最小值之差，求出组距的宽度。  直方图绘制方法 ④计算各组的界限位。各组的界限位可以从第一组开始依次计算。  ⑤统计各组数据出现频数，作频数分布表。  ⑥作直方图。以组距为底长，以频数为高，作各组的矩形图。 四种抽样方法 收集数据又叫抽样，抽样有下列四种： 简单随机抽样：简单随机抽样是一种一步抽样法，它要求在调查总体N中不加任何分组、划类、排队等，完全随机抽取n个调查单位作为样本。 等距抽样：等距抽样又称机械抽样或系统抽样。它是先将总体中各单位按一定的标志排队，然后每隔一定的距离抽取一个单位构成样本。 四种抽样方法 分层随机抽样：分层随机抽样又称为类型随机抽样、分类随机抽样。它是按照某一标志，先将总体分成若干组（类），其中每一组(类)称为一层，再在层内按简单随机抽样方法进行抽样。 整群随机抽样：整群随机抽样是先将总体按某一标志分成若干组，其中每个组称为一个群，以群为单位进行简单随机抽样，然后对抽到的每个单位都进行调查。 样本均值和方差 常见抽样分布 统计推断方法 例题1：从一个池塘里捞出1000尾鱼，将其尾部标以红点，仍然放入水中。经过一段时间，再从池中捞出1000尾鱼，其中有红点的鱼有100尾。试估计池中有多少尾鱼？ 统计推断方法 例题1的分析：将1000尾鱼再放入水中以后，鱼的总数不变。经过一段时间，这些鱼在池中应该分布“均匀”了，而第二次捞出的鱼中，有红点者占捞出鱼总数的100/1000=10%，所以从比例的观点看，池中鱼的总数x应该满足 10%x=1000 所以x=10000，因而可以认为池中的鱼大约在万尾左右。 统计推断方法 例题2：由厂方提出的一箱产品计1000件，从中取出100件，发现其中有2件不合格品。经约定：如果一箱的废品率超过1%，那么买方就不接受此（整）箱产品；否则买方就得接受。问此箱产品应否接收？ 统计推断方法 先将上述模型一般化： （1）在上述两个例题中，所考察的个体（鱼，产品）的全体（总体）个数都是一个有限数N。我们不妨将所考察的个体通称为“球”，并且认为都在一个“袋”中。 （2）在两个问题中，总体的元（个体）都分成两类（有红点或无红点；废品或合格品）,将前者通称为“红球”，后者通称为“黑球”，记红球个数为M 统计推断方法 （3）在两个问题中，都从总体中抽出若干个体（一个样本），样本容量为n （4）在两个问题中，样本中含有红球的个数为m （5）假设从总体中抽取任意一球的可能性都相等。 统计推断方法 从而上述问题可归结为如下的超几何模型： 设有一袋，袋中有N个球，其中有M个红球，N-M个黑球，假设从袋中抽取任意一球的可能性相等。现从袋中任取n个球，用X表示取出的n个球中的红球数，则P{X=m}的表达式为 统计推断方法 例1就是要估计N： 易见P{X=m}是N的函数。 统计推断方法 统计推断方法 例2就是要检验废品率： 产品检验的问题是这样提出的：产品总免不了有废品，在买卖中，买方当然希望买进的货物中废品尽量的少，而卖方则希望合格品都被买方接受。最自然的办法是由买卖双方对产品逐个检验。 显然，该办法在很多时候都是不现实的！（该办法只能适用于非破坏性的检验，而且批量小、检验费用低的情况。在现代化生产和市场交易中，这种情况是很少的） 统计推断方法 因此人们希望制定一种简便的验收方案，使买卖双方在每批货物的交接中，尽可能都得到满足。即对于卖方交付的每批产品，通过检验其中部分产品，使买方接收的废品比例和卖方被退回的合格品的比例都在可以接受的限度内。 如何建立这种方案呢？ 统计推断方法 假设例题2中所检验的那箱产品的废品率为1%，则易计算得 统计推断方法 根据实践经验知道：概率很小的事件是难于发生的。所以从卖方希望尽量将合格箱交出的观点看：从一箱产品中抽取100个产品，抽到的废品数大于3时，就没有理由交给对方；抽到的废品数小于或等于3时，就可以认为此箱产品合格，买方应该接收。于是 按照卖方的观点应该约定：从一箱产品中抽取100个产品，抽到废品数大于3时，卖方应该自己留下；抽到废品数