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* * 数学归纳法 第二节 （第二讲） 3、顺应需要,因势利导地实现归纳过渡. 归纳过渡是数学归纳法的核心,只有完成 这一步, 人们的认识才由有限达到无限. 归纳法中的k具有任意性和暂时确定性. 方面, 归纳法中的k具有任意性, 凡是使P(n)成立的自然数k都可取,而k+1是随k而定的; 一 方面,在归纳过渡证明中, k一旦取定就确定了,这与归纳变元n是有区别的. 另一 归纳法中的k具有任意性和暂时确定性 , 与 极限理论中“任意正数 ” 有几分相似之处, 在归纳证明时思想上要有充分的认识. 要顺利实现归纳过渡,须做好以下几点： (１)重视分析简单情形 例9 有刻度的n只容积相同的杯子盛有n种不 同溶液,此外还有一只容积相同的空杯. 求证： 可通过有限步混合手续使它们成为成分相同 的n杯溶液,此外还余一空杯. 分析 仅从归纳假设本身考虑归纳过渡较抽象, 可利用极端性原则, 从简单情形的解决方案中 寻找可以借鉴的信息. n=1时,显然. n=2时,将其中一杯倒一半入空杯,再用满杯 分别加满即可． n=3时, 由1/3=1/2×2/3联想, 时的方法 可先利用n=2 将其中两杯混合好, 杯溶液各倒1/3(余下2/3)入空杯, 最后将混合好 的三杯分别用未混合的一杯依次加满即可． 此方法不难推广到一般: 由n=k 到n=k+1 的 归纳过渡, 利用1/(k+1)=1/k×k/(k+1),可先将其 中k杯混合好,再将混合好的k杯溶液各倒1/k+1 (余下k/k+1)入空杯, 最后用未混合的一杯分别 依次加满混合好的k杯即可． 再将混合好的两 例10 求证:任一正三角形都可以分割成n个等 腰三角形(n≥3,n∈N). 分析 n=3,4,5,6时分割方法如下图, 各种不同的分割方法没有直接的联系！？ n=3 n=4 n=5 n=6 研究归纳过渡的基本图形？？？ n=3 n=4 n=5 n=6 基本图形 便于以２为跨度 便于以３为跨度 便于以１为跨度 可相应选取以２、3为跨度的跳跃归纳法和 第一归纳法． (２)巧妙利用归纳假设 归纳过渡的证明主要有两种思路: 一种是分离法,由P(k+1)分离出P(k),然后再 用归纳假设； 另一种是压缩法, 将P(k+1)压缩成P(k), 然后 再用归纳假设. 已知a、b为正实数,且 试证:对任 意 有 (1988年全国高中) 证明 n=1,命题成立. 设n=k时命题成立,则n=k+1时, ∵ ∴ 例11 分离出P(k) 已知a、b为正实数,且 试证:对任 意 有 证明 n=1,命题成立. 设n=k时命题成立,则n=k+1时, ∵ ∴ 例11 ∴左边≥ ＝右边． 综上,得证. 例12 设有 个球分成了许多堆, 我们在其中 任选甲、乙两堆,按如下规则挪动: 若甲堆球数 p不少于乙堆球数q,则从甲堆中拿出q个球放入 乙堆,这算一次挪动.求证:可经过有限次挪动使 所有球并成一堆. 证明 一堆球不需挪动； n=1时, 若为两堆球,则 每堆一个球,挪动一次即可. 设n=k时命题成立, 则n=k+1时, 总球数为 注意总球数为偶数, 易知球数为奇 数的有偶数堆. 将球数为奇数的各堆两两配对, ?? 便可使各堆球数都是 每对各进行一次挪动, 偶数. 此时, 我们将每堆中的球每两个球捆绑 在一起视为一个大球,则大球总数为 个, 由归纳假设, 在有限步之后可将这些大球 合并成一堆. 故n=k+1时命题成立． 综上，得证． 是归纳过渡的关键． 这里巧妙应用捆绑法将P(k+1)压缩成P(k), 点评: ≥ 例13 设 是定义在 上的函数 , 对任意 有 求证： 对任意 有 琴生 不等式 证明 n=1,2时命题成立． 设n=k时命题成立,则n=k+1时, 令 则 令 则 则 由条件可见A,B,C∈(a,b),且 记为B 记为C 即 记 整理得 即n=k+1时命题成立. 综上,得证. 例14 (３)仔细剖析过渡条件 设 是一正数数列, 对一切 n=0,1,2,…,都有 求证： 对一切n=1,2,3,…,都有 分析 在归纳过渡证明过程中, 要证 由归纳假设 ① 因 因 要证 由归纳假设 只要证 即 这需要对 以 为分界点进行 分类讨论. ① ② 证明 由 知 n=1时, 设n=k时 则n=k+1时, (ⅰ) 有 (ⅱ) 故n=k+1时命题成立． (ⅰ) 有 综上,得证. 例15 在线段AB上关于其中点M对称地放置了 2n个点,将这2n个点中的任意n 点染成