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[数学]数学概念
第一章 函数、极限和连续
§1.1 函数
一、主要内容
㈠ 函数的概念
1. 函数的定义: y=f(x), x∈D
定义域: D(f), 值域: Z(f).
f (x ) x D
1
y
2.分段函数: g (x ) x D2
3.隐函数: F(x,y)= 0
-1
4.反函数: y=f(x) → x=φ (y)=f (y)
y=f-1 (x)
定理:如果函数: y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y
是严格单调增加(或减少)的；
则它必定存在反函数：
-1 -1 -1
y=f (x), D(f )=Y, Z(f )=X
且也是严格单调增加(或减少)的。
㈡ 函数的几何特性
1.函数的单调性: y=f(x),x∈D,x 、x ∈D
1 2
当x ＜x 时,若f(x )≤f(x ),
1 2 1 2
则称f(x)在D 内单调增加( )；
若f(x )≥f(x ),
1 2
则称f(x)在D 内单调减少( )；
若f(x )＜f(x ),
1 2
则称f(x)在D 内严格单调增加( )；
若f(x )＞f(x ),
1 2
则称f(x)在D 内严格单调减少( )。
2.函数的奇偶性：D(f)关于原点对称
偶函数：f(-x)=f(x)
奇函数：f(-x)=-f(x)
3.函数的周期性：
周期函数：f(x+T)=f(x), x∈(-∞，+∞)
周期：T——最小的正数
4.函数的有界性： |f(x)|≤M , x ∈(a,b)
㈢ 基本初等函数
1.常数函数： y=c ， (c为常数)
n
2.幂函数： y=x , (n 为实数)
3.指数函数： y=ax , (a＞0、a≠1)
4.对数函数： y=log x ,(a＞0、a≠1)
a
5.三角函数： y=sin x , y=con x
y=tan x , y=cot x
y=sec x , y=csc x
6.反三角函数：y=arcsin x, y=arccon x
1
y=arctan x, y=arccot x
㈣ 复合函数和初等函数
1.复合函数： y=f(u) , u=φ (x)
y=f[φ (x)] , x∈X
2.初等函数:
由基本初等函数经过有限次的四则运算（加、减、乘、除）和复合所构成的，并且能用一个数学式子表示
的函数
§1.2 极 限
一、 主要内容
㈠极限的概念
limy n A
1. 数列的极限:
n
称数列 y n 以常数A 为极限;
或称数列 y n 收敛于A.
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