[数学]数学自主招生试题.doc

2005年复旦大学自主招生试题 一、填空题： 1.A=,B=,BC(BC表示B在R上的补集)=_____________. 2.数满足求 3.__________________. 4.抛物线与直线y=x+1交于A和B两点,最大时,=_______. 5. 6.求1+3+6+ 7.一个班20个学生，有3个女生，抽4个人去参观展览馆，恰好抽到1个女生的概率为_________. 8.求3在十进制中最后4位_____________. 9.定义在R上的函数满足则(2004)=______. 10求 y=的最大值是_____________. 二、解答题 1.在四分之一个椭圆(x0,y0)上取一点P，使过点P椭圆的切线与坐标轴所围成的三角形的面积最小. 2.在tanA:tanB:tanC=1:2:3,求 3.在正方体_中，点分别为中点,求： （1）到面距离； (2)二面角平面角 4.在实数范围内求方程 的实数根. 5.已知关于的表达式. 6.直线与双曲线xy=1交于P和Q两点，直线与轴交于与y轴交于B， 求证: 7.定义在R上的函数n=2,3,… (1)求 (2)是否存在常数M0, 2005年上海交通大学保送、推优生试题 一、填空题（每小题5分，共50分） 方程的两个根满足，则 . ，则 . 已知，有，则 . 将3个12cm12cm的正方形沿邻边的中点剪开，分成两部分，如图，将这6部分接于一个边长为的正六边形上，若拼接后的图形是一个多面体的表面展开图，该多面体的体积为 . 已知,则 . . 若，且，则 . 一只蚂蚁沿立方体表面爬，从一对角线一端到另一端最短距离为 . 4封不同的信放入4只写好地址的信封中，装错的概率为 ，恰好只有一封装错的概率为 . 已知等差数列中，， . 二、解答题（第1题8分，第2、3、4题各10分，第5题12分） 1. 的三根分别为，并且是不全为零的有理数， 求的值. 2. 是否存在三边为连续自然数的三角形，使得(1)最大角是最小角的两倍,(2)最大角是最小角的三倍, 若存在，求出该三角形；若不存在，请说明理由. 3. 的最大值为9，最小值为1，求实数. 4. 已知月利率为，采用等额还款方式，则若本金为1万元，试推导每月等额还款金额关于的函数关系式（假设贷款时间为2年）. 5. 对于数列：1,3,3,3,5,5,5,5,5,……，即正奇数有个，是否存在整数，使得对于任意正整数都有恒成立，(表示不超过的最大整数). 2006年复旦大学推优保送生考试数学试题 1．（本题20分）求和： ⑴ ⑵ 2.（本题15分）试构造函数,其定域为，值域为 ⑴ 对于任意，只有一解； ⑵ 对于任意，有无穷多个解 3.（本题15分）对于一个四位数，其各位数字至多有两个不相同，试求共有多少个这种四位数 4.（本题15分）对于任意均为非负实数，且， 试用数学归纳法证明：成立 5.（本题20分）求证： 6.（本题20分）满足何条件，可使恒成立 7.（本题20分）下列各式能否在实属范围内分解因式？若能，请作出分解；若不能，请说明理由 ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ 8.（本题20分）解三角方程：为一实常数 9.（本题20分）已知曲线曲线关于直线对称的曲线为曲线,曲线与曲线关于直线对称，求曲线，的方程 10.（本题20分）已知抛物线且互相垂直，若抛物线与直线中至少一条相交，求的取值范围 11. （本题15分）在上单调递增，且对任意，都有成立，证明：存在常数，使在上成立 2006年上海交通大学推优、保送生考试试题 一、填空题 矩形中，，过、作相距为的平行线，则= 一个正实数与它的整数部分，小数部分成等比数列，那么这个正实数是 2005！的末尾有连续 个零。 展开式中，项的系数为 在地面距离塔基分别为100m，200m，300m的、、处测得塔顶的仰角分别为，且，则塔高为 三人玩剪子、石头、布的游戏，在一次游戏中，三人不分输赢的概率为 ,在一次游戏中,甲获胜的概率为