[数学]数理统计第2章1.ppt

第二章 第二章　参数估计 一、点估计的一般提法 二、估计量的求法　 ＊经验法：例如10个评委评分，往往用去掉 最高分和最低分再取平均数作为参赛者分数。 2、矩估计法： 由此得 2、最大似然估计法：设母体X的分布为F(x ,θ),θ是未知参数，求θ的估计。 ＊对于[0, θ]上的均匀分布， θ的矩估计 即无偏性保证对不同的子样值　x1, …, xn　 ＊对于[0, θ]上的均匀分布， θ的矩估计 2、有效性的意义： 3、最优估计：所有无偏估计中方差最小者 ＊对于[0, θ]上的均匀分布， θ的矩估计 1、一致估计（相合估计）： 3、可以证明：大多数最大似然估计是一致 估计。 　　与最大似然估计　　　　　　　 不同，哪个好？（优劣评价需标准） （1）由于　　　　　　　　　　　，故　 （2）　　　　　　　　　的密度函数为　　　　　　　　 是θ的无偏估计。 故　　　　　　　　　　不是是θ的无偏 估计，但是渐近无偏估计。　　　　　　　　 二、有效性 由方差的意义，方差反映随机变量的稳 定，有效性保证对于不同的子样值 估计值 不至于相差太大。 （这样的估计才有效！） 4、常用的最优估计： （1）如果母体是正态分布N(μ,?? )，则 是母体均值μ最优估计；　 是母体方差?? 的最优估计。 （2）如果母体是一般分布， 则　是μ最小方差线性无偏估计。即如果a1X1+ a2X2+…+ an Xn是μ的无偏估计，则必有 证明提示：求D(a1X1+ a2X2+…+ an Xn)最小值点。 　　与最大似然估计　　　　　　　 不同，哪个方差小？ （1）　　　　　　　　　　　 （2）　　　　　　　　　的密度函数为　　　　　　　　 即D(M)是　　　的高阶无穷小。 * * 主讲人：数学与信息科学学院 周婉枝 数理 统计 1、引例（1）求人的平均身高μ 解：总人数为N ，则有 注：这样计算几乎是不可能；找10000人（子 样）测这10000人的身高，计算 §2.1　　　点估计 可作为μ的估计值。 记作 （2）一批产品，求次品率 p 解：产品总数为N，检验所有产品得次品数M ， 则有p＝ M/ N （计算几乎是不可能，也不必要） ！检验 n 件产品，得 m 件次品,得 m /n 作为 p 的估计值，记为 2、点估计的一般提法：设母体 X 的分布为 F(x ,θ),θ是未知参数，子样值为x1, …, xn 如果用 作为θ的估计值， 则称　　　　　　　　称为θ的估计量。 估计量和估计值统称为估计，记为 注：（1）估计量不唯一，例如平均年龄 可用平均指标，也可用中位数、众数；由 此提出两个问题：其一是如何求估计量； 其二是如何评价估计量。（2）同一个估 计量，不同的试验者所得的估计值也不相 同。例如不同的人做试验所得10万人的 平均身高是不一样的。即估计值并不是参 数的真值，所以提出求参数的真值的范围， 即参数的区间估计。 1、依据：大数定律，设X1, X2, … Xn …独立 同分布且数学期望存在，μ＝E(Xi) 则有　 ＊统计推断法 （一）矩法（矩估计法）　 对任意正数ε成立 即　可作为μ的估计。 即： 估计母体的原点矩 用子样的原点矩 其中αk =E(X k)， X 母体 ！子样原点矩可通过试验得数据进行计算！ 原理：对　　　　　　　　用大数定律则可 （1）如果仅有一个未知参数θ αk =E(X k) ① 用母体分布F(x ,θ)计算μ＝E(X) 　 此时μ＝μ(θ) ； ② 用μ＝μ(θ) 反解出θ,θ＝θ(μ) ③ θ的矩估计为 注：μ为母体原点1阶矩，故可用子样1阶 原点矩估计μ 。即 例：母体 X为参数为 p 的0－1分布，求p 的矩估计。 ① μ＝E(X)= p ③ p 的矩估计为 解：母体分布为 ② p = μ 应用：一大批产品，从中抽取100件进行检验， 发现有4件次品，估计次品率p。 解：设X为抽取一件产品所得的次品数，则X的 分布律为　X 　 0　 1　 P 1- p p 例：母体 X为参数为 θ 的指数分布，求θ 的矩估计。 ① μ＝E(X)=θ ③ θ 的矩估计为 解：母体密度为 ② θ = μ 例：已知灯管的寿命服从指数分布，其密 度函数f(x)如下,从一批产品取出10件产品。 测得寿命为2700 3660 3870 1500 3200 1800 3000 2000 1300 1000 求λ的估计。 例：已知灯管的寿命服从指数分布，其密 度函数f(x)如下,从一批产品