[数学]概率论 第2章B连续性随机变量.ppt

第二章 随机变量及其分布 连续型随机变量的分布 概率密度的性质 连续型随机变量的概率密度 例 设连续性随机变量X的概率密度为 求：（１）常数C； 　　（２）Ｐ{Ｘ＜０},Ｐ{０ ＜Ｘ≤1},Ｐ{Ｘ1} 几种常用的连续型随机变量 均匀分布 指数分布 正态分布 Γ分布 均匀分布 定义 如果随机变量X的概率密度为 则称X服从区间[a,b]上的均匀分布,记为X～U[a,b] 均匀分布 已知X ～U[a,b],则对任意的c,d(a≤c≤d ≤b),求 P{cXd } 均匀分布 例 如滑动电阻的阻值X ～U[900,1100],试写出X的密度函数 ,并求P(950≤X≤1050 )=? 均匀分布 例 设K在区间[0，5]上服从均匀分布，求关于x的方程 4x2+4Kx+K+2=0 有实数根的概率 指数分布 如果随机变量X的概率密度为 其中λ0,则称X服从参数为λ的指数分布,记为X ～E(λ) 指数分布 例 已知某电子元件已经使用了s h（ s 0）,用X表示电子元件的寿命,求 （1）它总共至少能使用(s+t) h （ t0）的概率 （2）从开始算起至少能使用t h的概率 指数分布 例 设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X（单位：min）服从指数分布，其概率密度为 某顾客在窗口等待服务，若超过10min，他就离开。他一个月要到银行5次，以y表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，写出Y的分布率，并求P{Y ≥1} 正态分布 定义 如果随机变量X的概率密度为 其中μ， σ （ σ 0）为常数，则称X服从参数为μ ， σ的正态分布，记为X～N（ μ ，σ2 ） 正态分布 正态分布的密度函数的图形，是以x=μ为轴对称的，当x= μ取最大值 ，当σ越小，曲线就越陡峭， σ越大就越平缓 正态分布 当μ=0， σ =1时对应的分布称为标准正态分布，记为X ～N（ 0 ，1 ），其概率密度为 Γ分布 定义 如果随机变量X的概率密度为 其中α0,β0, ,则称X服从Γ分布， Γ函数（补充） 定义 称 为Γ函数 分布函数 为了更好地研究随机变量的统计规律，引进随机变量的分布函数的概念． 分布函数的定义 设X是随机变量,x是任意实数,函数 F(x)= P(X≤x) 称为随机变量X的分布函数 分布函数 当X是离散型随机变量时，设X的分布律为 P{X=xk} =pk (k=1,2,……), 按分布函数的定义，有 F(x)= 这里和式是对所有满足条件“xk ≤x”的点概率求和，即F(x)是满足xk ≤x的一切xk的相应概率pk的和 分布函数 例一汽车到达目的地的途中需通过4次红、绿交通灯，每处遇到红，绿灯的概率均为 ，以X表示汽车停止前所通过交通灯的次数，求X的概率分布及分布函数 分布函数 当X是连续型随机变量时，设X的概率密度为 按分布函数的定义，有 F(x)=P(X ≤x)= 例题 已知随机变量X服从参数为5指数分布,求X的分布函数 分布函数 例 设连续型随机变量X的分布函数为 求常数A,B 分布函数 例 设随机变量X的分布函数为 （1）讨论F(x)的连续性 （2）求概率P{X =-1}， P{X =0}， P{X =-1x 1} 正态分布的概率计算 设随机变量X ～N（ μ ,σ 2 ）,则X的分布函数为 当μ=0， σ =1时得到标准正态分布，它的分布函数为 标准正态分布 正态随机变量的标准化定理 正态分布的概率计算 例 随机变量X ～N（ μ ,σ 2 ） ，求 X 落在区间(μ-3 σ, μ+3 σ)内的概率. * * 概率密度反映了随机变量取x临近值的概率的大小。概率密度的值越大的地方，随机变量落在它附近的概率就越大 （1） （2）若R、VX是连续型的，对于任一实数a,有P{X=a}=0 （3） （4） P{cXd } = 由此可见:X在区间[a,b]内一小区间取值的概率与该小区间的长度成正比,而与该小区间的具体位置无关,这就是均匀分布的概率意义 指数分布在实践中有着广泛的应用.有许多“寿命”分布,如电子元件的寿命,动物的寿命,电话的通话时间,随机服务系统的服务时间等 可以看出P{X≥s+t|X ≥s}= P{X≥t}，也就是说 之前s等于多少都没有关系，这一性质称为无记忆性 O 标准正态分布的概率密度函数为偶函数,其图形关于Oy轴对称.在x=0处取到最大值 ,曲线以x轴为渐近线 正态分布是概率论和数理统计中最重要的一种分布，一般来讲， 若影响某一