[数学]第05章 代数系统的一般性质.ppt

第五章 代数系统的一般性质 基本要求: 了解代数系统的定义, 运算及其运算的相关定律。掌握两个代数系统的同态、同构。 重点: 掌握代数系统的各个定律, 两个代数系统的同态、同构。 难点: 两个代数系统的同态、同构的证明方法。 第五章 代数系统的一般性质 引言 5.1 二元运算及其性质 5.2 代数系统及其子代数和积代数 5.3 代数系统的同态与同构 5.4 题例分析 引　言 人们研究和考察现实世界中的各种现象或过程往往要借助于所谓的数学模型。 离散结构是抽象的数学结构, 用于表示离散对象及离散对象之间的关系。 目前, 代数系统的研究成果被广泛地应用于计算机科学、理论物理学、生物学及社会科学中 代数系统又称代数结构, 抽象代数。 主要研究抽象的代数系统。 抽象的代数系统也是一种数学模型, 可以用它表示现实世界中的离散结构。 例如: 在形式语言中常将有穷字符表记为∑, 由∑上的有限个字符(包括0个字符)可以构成一个字符串, 称为∑上的字。∑上的全体字符串构成集合∑*。 设 ? , ? 是∑*上的两个字, 将 ? 连接在 ? 后面得到∑*上的字 ? ? 。 如果将这种连接看作∑*上的一种运算, 则这种连接运算不可交换, 但是可结合。 集合∑*关于连接运算就构成了一个代数系统, 它恰好是抽象代数系统——半群的一个实例。 抽象代数在计算机中有着广泛的应用 例如: 自动机理论、编码理论、形式语义学、代数规范、密码学等等都要用到抽象代数的知识。 代数结构的主要研究对象就是各种典型的抽象代数系统。 构成一个抽象代数系统有三方面的要素: 集合、集合上的运算以及说明运算性质或运算之间关系的公理。 例: 整数集合Z和普通加法 ? 构成了代数系统 Z, ?。 n 阶实矩阵的集合Mn(R)与矩阵加法 ? 构成代数系统Mn(R), ? 。 幂集?(B)与集合的对称差运算 ? 也构成了代数系统 ?(B), ?。 类似这样的代数系统可列举出许多, 他们都是具体的代数系统。考察他们的共性, 不难发现他们都含有一个集合, 一个二元运算, 并且这些运算都具有交换性、结合性、……性质。 为了概括这类代数系统的共性, 我们可以定义一个抽象的代数系统 A, ?, 其中: A是一个集合, ?是A上的可结合的运算 A是一个集合, ?是A上的可结合、可交换的运算 为了研究抽象的代数系统, 我们需要先定义一、 二元代数运算 及 一、二元运算的性质, 并通过选择不同的运算性质来规定各种抽象代数系统的定义。 在此基础上再深入研究这些抽象代数系统的内在特性和应用。 5.1 二元运算及其性质 一、二元运算与一元运算的定义 1. 二元运算的定义与实例 2. 一元运算的定义与实例 二、二元与一元运算的表示 三、二元运算的性质 1. 主要运算定律 2. 特异元素 1、二元运算的定义与实例 定义5.1 设S为集合, 函数 f : S×S?S 称为S上的二元运算, 简称为二元运算。 运算封闭性: 若?x, y∈S, 有x＊y∈S, 称＊在S上是封闭的 。 1、二元运算的定义与实例 例如: f: N×N?N, f(x, y)=x+y 就是自然数集合N上的二元运算, 即普通的加法运算。 普通的减法不是自然数集合N上的二元运算, 因为两个自然数相减可能得到负数, 而负数不是自然数。这时也称 N 对减法运算不封闭。 例: A={ x | x = 2n, n ? N}, 问: A, ? 运算封闭否, A, ?, A, ?呢？ 解: ? 2r, 2s ?A, 2r ? 2s = 2r+s ? A ( r?s ? N ) ∴ A, ?运算是封闭。 又 ∵ 2, 4 ?A, 但 2+4 ? A, ∴ A, + 运算是不封闭 ∵ 2, 4 ? A, 但 2/4 ? A, ∴ A, / 运算是不封闭 注: 验证一个运算是否为集合S上的二元运算主要考虑两点: (1) S 中任意两个元素都可以进行这种运算, 且运算的结果是唯一的。 (2) S 中任何两个元素的运算结果都属于S, 即S 对该运算是封闭的。 例如: 实数集合 R 上不可以定义除法运算, 因为0?R, 而 0 不能做除数。但在 R*=R?{0}上就可以定义除法运算了, 因为 ?x, y?R*, 都有 x/y?R*。 例5.1 (1) 自然数集合N上的加法和乘法是N上的二元运算, 但减法和除法不是。 (2) 整数集合Z上的加法、减法和乘法都是Z上的二元运算, 而除法不是。 (3) 非零实数集 R*上的