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[数学]第17章172基本初等函数的导数

* 已知函数 (a为常数). (1)求f ′(3)的值; (2)当x=3时,曲线y=f(x)在点(3,y0)处的切线经过点(-1,-1),求a的值. (1)因为 所以 题型3:导数的基本应用 * (2)因为 所以曲线在点(3,y0)的切线方程为 即 因为该切线经过点(-1,-1), 所以 解得 * 【评注】求曲线的切线的关键是找出切点,要注意区分切线所经过的点是不是切点.本题切线经过的点(-1,-1)不是切点,因此先要假设切点,再求出切线方程,然后由点(-1,-1)在曲线的切线上,求出a的值. * 已知函数 (a∈R),在曲线y=f(x)的所有切线中,仅有一条切线l与直线y=x垂直. (1)求a的值和切线l的方程; (2)设曲线y=f(x)上任意点的切线的倾斜角为θ,求θ的取值范围. * (1)设切点坐标为(x0,y0),其中 由于y′=x2-4x+a,故得x2-4x+a=-1. 依题意,该方程有且只有一个实数根,于是 Δ=16-4(a+1)=0,得a=3, 从而x=2,即x0=2, 故切线l的方程为 即3x+3y-8=0. * (2)设曲线上任意一点(x,y)处的切线的斜率为k. 因为y′=x2-4x+3=(x-2)2-1≥-1, 所以k≥-1. 由正切函数的单调性可得倾斜角θ的取值范围为 * 1.导数的运算法则 加法运算:[u(x)+v(x)]′=u′ (x)+ v′(x),和的导数等于导数的和; 减法运算:[u(x)-v(x)]′=u′(x)-v′(x),差的导数等于导数的差; 乘法运算:[u(x)·v(x)]′=u′(x)·v(x)+v′(x)·u(x),积的导数等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数; * 除法运算: 商的导数等于分子的导数乘以分母,减去分母的导数乘以分子,再除以分母的平方. 牢记四则运算法则,将大大提高求函数导数的运算速度和准确性. * 2.借用lnx,ex的导数,求logax,ax的导数的方法 设y=logax,则 所以 设y=ax,则lny=x·lna,所以 则y′=y·lna=ax·lna. * 如求函数 的导数; 先取对数 所以 则 * 1.(2009·福建卷)若曲线f(x)=ax2+lnx存在垂直于y轴的切线,则实数a的取值范围是__________. 2.(2009·陕西卷)设曲线y=xn+1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn,令an=lgxn,则a1+a2+…+a99的值为 . (-∞,0) -2 * 试题透析 基本初等函数的导数常以具体初等函数为背景,考查导数的概念、几何意义和基本运算.题型以选择题、填空题为主.训练应用导数公式及运算法则解决问题是掌握初等函数的导数的基本要求. * 第二课时 基本初等函数的导数 第十七章 导数及其应用 * 1.基本初等函数的导数 原函数 导函数 f(x)=C f(x)=xn(n∈Q*) f(x)=sinx f(x)=cosx 0 nxn-1 cosx -sinx * 原函数 导函数 f(x)=ax f(x)=ex f(x)=logax f(x)=lnx axlna ex * 2.导数运算法则 (1)[f(x)±g(x)]′=_______________; (2) [f(x)·g(x)]′=___________________; (3) [Cf(x)]′=________; (4) = __________________________ f′(x)±g ′(x) f′(x)·g(x)+f(x)g′(x) Cf′(x) * 1.已知f(x)=x2+2xf ′(1), 则f ′(0)=( ) A.0 B.-4 C.-2 D.2 由已知得f ′(x)=2x+2f ′(1), 所以f ′(1)=2+2f ′(1). 即f ′(1)=-2.所以f ′(x)=2x-4, 所以f ′(0)=-4. B

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