[数学]第15讲：高频考点分析之最值探讨.doc

【备战2013高考数学专题讲座】 第15讲：高频考点分析之最值探讨 江苏泰州锦元数学工作室 编辑 1～2讲，我们对客观性试题解法进行了探讨，3～8讲，对数学思想方法进行了探讨，9～12讲对数学解题方法进行了探讨，从第13讲开始我们对高频考点进行探讨。 最值问题是中学数学的重要内容，它分布在中学数学的各个部分和知识水平层面。以最值为载体，可以考查中学数学的许多知识点，考查分类讨论、数形结合、转化与化归等诸多数学思想和方法，还可以考查学生的思维能力、实践和创新能力。纵观近年高考，从题型分布来看，大多数一道填空题或选择题，一道解答题；从分值来看，约占总分的10%左右，它在高考中占有比较重要的地位。 　　分析考题的类型，高考中最值问题的呈现方式一般有以下几种： 　　1．函数（含三角函数）的最值； 　　2．学科内的其它最值，如几何中的最值问题、数列的最大项等等； 　　3．字母（函数）的取值范围； 　　4．不等式恒成立问题、存在性问题，常常转化为求函数的最值，例如： 对恒成立的最小值≥0成立，对恒成立的最大值≤0成立，等等； 　　5．实际应用问题，如最优化问题，可以通过建模可化为最值问题，等等。 　　结合中学数学的知识，高考中最值问题的求解方式一般有以下几种： 1．应用配方法求最值； 2．应用不等式（含基本不等式）求最值； 3．应用导数求最值； 4．应用单调性等性质求最值； 5．应用函数的值域求最值； 6．应用三角函数求最值； 7．应用几何、向量知识求最值；　　　 8．应用线性规划求最值。 结合2012年全国各地高考的实例，我们从以上八方面探讨最值问题的求解。 一、应用配方法求最值： 典型例题：【版权归锦元数学工作室，不得转载】 例1. （2012年浙江省文5分）若正数x，y满足x+3y=5xy，则的最小值是【 】 A. B. C.5 D.6 【答案】C。 【考点】基本不等式或配方法的应用。 【解析】∵x+3y=5xy，∴，。 ∴。（或由基本不等式得） ∴5，即的最小值是5。故选C。 例2.（2012年上海市理14分）海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰在失事船的正南方向12海里A处，如图. 现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发小时后，失事船所在位置的横坐标为7. （1）当时，写出失事船所在位置P的纵坐标. 若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；（6分） （2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？（8分） 【答案】解：（1）时，P的横坐标，代入抛物线方程得P的纵坐标。 ∵A（0，12）， ∴ 。 ∴救援船速度的大小为海里/时。 由tan∠OAP=，得， ∴救援船速度的方向为北偏东弧度。 （2）设救援船的时速为海里，经过小时追上失事船，此时位置为。 由，整理得。 ∵当即=1时最小，即。 ∴救援船的时速至少是25海里才能追上失事船。 【考点】曲线与坐标。 【解析】（1）求出A点和P点坐标即可求出。 （2）求出时速关于时间的函数关系式求出极值。 例3.（2012年山东省文13分）如图，椭圆M：的离心率为，直线和 所围成的矩形ABCD的面积为8. (Ⅰ)求椭圆M的标准方程； (Ⅱ) 设直线与椭圆M有两个不同的交点P，Q，与矩形ABCD有两个不同的交点 S，T.求的最大值及取得最大值时m的值. 【答案】解：(Ⅰ)∵椭圆M：的离心率为 ∴，即……①。 ∵矩形ABCD面积为8，∴，即……② 由①②解得：。 ∴椭圆M的标准方程是。 (II)由得。 设，则。 由得。 ∴。 当过A点时，，当过C点时，。 ①当时，有， ∴。 设，则。 ∴当，即时，取得最大值。 ②当时，由对称性，可知，当时，取得最大值。 ③当时，，， ∴当时，取得最大值。 综上可知，当时，取得最大值。 【考点】椭圆的性质，矩形的性质，函数的极值。 【解析】（Ⅰ）由已知条件，根据椭圆M的离心率为 ，直线和 所围成的矩形ABCD的面积为8，列方程组组求解。 （Ⅱ）应用韦达定理、勾股定理，用表示出，分，，三 种情况分别求解。 例4.（2012年辽宁省文12分）如图，动圆,,与椭圆：相交于A， B，C，D四点，点分别为的左，右顶点。 (Ⅰ)当为何值时，矩形的面积取得最大值？并求出其最大面积； (Ⅱ) 求直线与直线交点M的轨迹方