[数学]第3章 随机变量的数字特征、概率生成函数、特征函数硕士.ppt

重期望公式的应用 这公式提供了一个在大范围求平均的一种思想方法， 即所谓的两次平均法 例3.18 一名矿工被困在矿井有三个门的位置，第一个门 与一个经3小时路程可到达安全区的坑道连接；第二个门 与一个经5小时路程可回到原处的坑道连接；第三个门与 一个经7小时路程可回到原处的坑道连接。假定该矿工等 可能在三个门种选择，求他平均需要多少时间才能到达安 全区。 解：设该矿工需要 小时到达安全区，则 的可能取值 显然有 由题设知 记矿工平均需要时间为 由重期望计算式 解的 解得 例3.19 设电力公司每月可供给某工厂的电量 （单位：万千瓦），该厂每月实际需要电量 （单位：万千瓦）。如果工厂从电力公司得到足够的电力 则每万千瓦电力可创造30万元的利润，如工厂从电力公司 得不到足够的电力，不足部分通过其他途径解决，但每万 千瓦电力可创造10万元的利润，求该工厂每月的平均利润. 解：设该工厂每月的利润为 ，则有 重期望公式知该工厂的约平均利润为 随机变量的条件方差与性质 随机变量间的的协方差与相关系数 Covariance and Correlation coefficient 随机变量间协方差与相关系数 Def 协方差的定义 相关系数的定义 Def 随机变量间协方差的计算 离散型 连续型 注意：协方差与相关系数反映的是同一个内容，只是协 方差有单位，而相关系数无单位。 例3.20 1/8 3/8 3/8 1/8 1/4 1/8 0 0 1/8 3 3/4 0 3/8 3/8 0 1 3 2 1 0 解：边际分布如表 例3.21 解：边际概率密度为 随机变量间协方差与相关系数的性质 性质6,7说明相关系数反映了随机变量之间线性相关性的强弱。 证明: 随机变量间线性无关的概念 Def 例3.22 1/3 1/3 1/3 1 0 -1 解： 0 1/3 1 1/3 0 0 0 1/3 -1 1 0 这个题说明相关系数反映了随机变量之间线性相关性的强弱。 随机变量的概率生成函数 * 第3章 随机变(向量)的数字特征、生成函数、特征函数 概率论 随机变量的数学期望 随机变量的方差 随机变量的矩与中位数 随机变量间的协方差与相关系数 随机变量偏度、峭度 随机变量条件期望与方差 随机变量生成函数与特征函数 随机变量的数学期望 Mathematical Expectation 以频率为权重的加权平均 ，反映了这7位同学高数成 绩的平均状态。 一、引例 某7学生的高数成绩为90，85，85，80，80，75，60，则他们的平均成绩为 二、数学期望的定义 离散型随机变量 Def 设离散型随机变量的概率分布为 连续型随机变量 Def 设连续型随机变量的概率密度为 ，若广义积分 随机变量数学期望所反应的意义 例3.1已知随机变量X的分布律为 1/4 1/2 1/4 6 5 4 求数学期望 解：由数学期望的定义 例3.2已知随机变量X的分布律为 1 0 求数学期望 解：由数学期望的定义 例3.3已知随机变量 。求数学期望 例3.4已知随机变量 。求数学期望 例3.5已知随机变量 。求数学期望 例3.6已知随机变量 。求数学期望 例3.7 若将这两个电子装置串联连接组成整机,求整机寿命(以小时计) N 的数学期望. 的分布函数为 二维随机变量的数学期望及边缘分布的数学期望 (X,Y)为二维离散型随机变量 (X,Y)为二维连续型随机变量 例3.8 设(X,Y)的联合密度为 1 1 3 解： 随机变量函数的数学期望 1. 一元随机变量函数的情况 设 是随机变量 X的函数， 离散型 连续型 2. 二元随机变量函数的情况 离散型 连续型 例3.9 例3.10 设X与Y相互独立，它们的概率密度函数分别为 随机变量数学期望的性质 1. 设C是常数，则E(C)=C； 2. 若k是常数，则E(kX)=kE(X)； 3. E(X+Y) = E(X)+E(Y)； 4. 设X，Y 相互独立，则 E(XY)=E(X)E(Y)； 请注意: 由E(XY)=E(X)E(Y) 不一定能推出X,Y 独立 证明：这里只证明行至3,4 利用这些性质可以再求数学期望时计算得以化简。 例3.12 设随机变量X~B(n, p)，求二项分布的数学期望。 X~B(n, p)，则X表示n重贝努里试验中的“成功” 次数。 解： 随机变量的方差 Variance 随机变量方差的定义 设 是一随机变量，如果 存在，则称为 的方差，记作 或 方差的计算