[数学]第3章模糊8-9.ppt

§3.8 模糊聚类分析 1.????模糊等价关系 由定义1 ，当R 以矩阵表达时， 定理6 设 R 为 U 上 F 关系，则 定理7 设R, S 为U 上F 关系。 (1)? 若R , S 具有F 自反性，则 R ○S 也有F 自反性。 (2) 若R 有F 对称性，则R n（n =1,2,…）也有F 对称性。 (2) 对n 用归纳法。显然，n =1时，结论成立。 定理8 设R 为U 上F 相似关系, | U | = n ，则R n-1 是U上F 等价关系。 证明 设R 具有F 传递性。 任取 (u, v)，(v, w) ∈R? ，由截集R? 的定义，有 R (u, v) ≥ ? ，R (v, w) ≥ ? ，从而 由 R? 的传递性可得 (u,w)∈R? 。从而 R (u, w)≥a，亦即 R (u, w)≥R ( u,v)∧R (v,w)。 证明 由R 有? 2.?? 模糊聚类分析 ? 所谓聚类分析，就是用数学的方法对事物进行分类，它有着广泛的实际应用。在模糊数学产生之前，聚类分析已是数理统计多元分析的一个分支，然而现实的分类问题往往伴有模糊性。例如，环境污染分类，健康状况分类，土壤分类等等。对这些伴有模糊聚类分析问题，用模糊数学的方法来处理更切合实际，这就是所谓模糊聚类分析。 模糊聚类分析的基本步骤： 设 U ={ u1, u2,…, un} 为被分类对象的全体，根据对象的（如物理，化学等）属性，我们用一组数据来刻画每一个对象。设刻画对象 ui 的数据为 ui =( ui1, ui2,…, uim)，i=1, 2,…, n。 除上述方法外,还可以请有实际经验的专业人员直接对 uik 与 ujk 的相似程度评分, 作为 ri j 的值。 第二步 改造F 相似关系 R 为F 等价关系。 对第一步建立的 F 相似关系 R，首先利用逐次平方法求得 t (R) = Rk（k≥n-1） 由定理8，t (R) 是 F 等价关系。然后求 a 截集 [t (R)]a 由定理9，[t (R)]a 有普通等价性具有分类职能。 例2 按污染状况对环境单元分类。 每个环境单元包括空气，水分，土壤，作物四个要素。环境单元的污染状况由污染物在四要素中的含量指数来描述。 设有五个环境单元：u1, u2, u3, u4, u5。它们的污染数据如下： u1 =（5,5,3,2），u2 =（2,3,4,5），u3 =（5,5,2,3），u4 =（1,5,3,1）， u5 =（2,4,5,1） 取 U = { u1, u2, u3, u4, u5}，试对U 分类。 解 首先, 取 c = 0.1，按绝对值减数法建立模糊相似关系R ， 即用公式 其次，用逐次平方法求传递闭包如下： 最后，依次取α-截阵 (t(R))? ，将U 分成等价类如下： 随着α的减小,分类越来越粗，形成一个动态聚类图，见图: §3.9 模糊次序的确定 1.???? F 偏序集 例1 给定 U = {u1, u2 , u3, u4} 上的F方阵 ∴ R 有F 传递性。综上，R 是 U 上 F偏序关系。 证明 S 在V上具有F自反性及反对称性是明显的。下证S 在V上具有F传递性。 2. 优越元 ? 定理11 若R 是有限论域U 上的F 偏序关系，则对R 来说，U 中必存在优越元。 理由：∵ ?i ∈U ，有 R(i, i) =1。 ∴ R 有F自反性。 当 i ≠j 时，因 R(i, j)，R(j, i) 中必有一个为 0，故R 有F反对称性。 可验证有 R 2 = R，故R 有F传递性。所以R 是F 偏序关系。 因?i ∈U ，有R(i+1, i ) ≠0，故 i 不是优越元，从而R 无优越元。 ? 3. 模糊次序的确定 下面讨论在两种情况下，元素优越次序的确定。 例2 给定 U = { u1, u2, u3, u4, u5}上F偏序关系 试确定U中元素的优越次序。 (2)??在F 预序关系（具有F自反，传递性的F关系）下次序的确定 例3 设U = { u1, u2 ,…，u5}是五种方案的集合。U上的F预序关系为 由(9.1)式可得 记号: 设R 为U上F关系，V ? U ， 令 R | (V×V ) = {((u,v), R(u,v)) | (u,v) ∈ V