[数学]第3章向量 线性方程组线性代数及其应用.ppt

第3章 向量 线性方程组 高斯消元法 向量组的线性相关性 向量组的秩 向量空间* 线性方程组解的结构 Mathematica软件应用 定义1 n个变量、 m个方程的线性方程组 当常数项bi不全为0时, 称为非齐次线性方程组; 当常数项bi全为零时, 称为齐次线性方程组, 也称作非齐次 线性方程组的导出组. 若记 当线性方程组有解时,称方程组是相容的,否则 便是不相容的. 当线性方程组有无穷多解时,其全部解的集合 称为方程组的通解或一般解.解集合中的每一个元 素称为特解. “解方程组”,就是判断线性方程组是否有解,在 有解时求得满足方程组的唯一解或全部的解(通解) 的过程. 2.高斯消元法 解 例1 解线性方程组 得 3. 线性方程组解的判定 综上所述，得到用消元法解方程组的步骤： (1)写出方程组的增广矩阵 ， (2)对 施行初等行变换化为行阶梯形B； (3)判断是否有解？ (4)若有解, 继续对行阶梯形矩阵B施行初等行变换化成行最简形C， (5)由行最简形C直接写出原方程组的解. 例2 解线性方程组 例3 解线性方程组 解 对增广矩阵施行初等行变换： 例4 下列线性方程组是否有解？若有解,求出全部解. 例5 例6 齐次线性方程组Ax=0解存在性判别方法 齐次线性方程组系数阵A和增广阵(A|O)的秩总是相等的. 例7 判别齐次线性方程组是否有非零解. 例8 n维向量的概念 线性组合与 线性表示,向量组等价 线性相关与线性无关 判定判定线性相关性的几个定理 1. n维向量的概念 定义：n个数组成的有序数组 从矩阵角度看，n维行向量是1×n的矩阵(行矩阵)， n维列向量是n×1的矩阵(列矩阵)，与第2章中称行(列)矩阵为行(列)向量相吻合． 因此，有向量的线性运算如下： 说明 可写为 例1 已知n维向量 解 例2 已知向量 解 由条件，得 2.线性组合与线性表示 例如 设 易知 (i)零向量可以由任何向量组线性表示. ((iv))一般情况下 例3 例2 解 定义2 向量组等价 设有向量组 ?1,? 2,…,?s (I)及?1,? 2,…,?t (II) 若向量组(I)中每个向量?i (i=1,2,…,s)均可由 向量组?1,? 2,…,?t线性表示, 则称向量组(I)可以由 向量组(II)线性表示. 若向量组(I)与向量组(II)可以相互线性表示,则称 这两个向量组等价. 等价是两个向量组之间的一种关系，具有： 反身性：任何一个向量组都与其自身等价； 对称性：若向量组(I)与 (II)等价,则(II)与(I) 等价. 传递性：若向量组(I)与 (II)等价,(II)与(III) 等价,则(I)与 (III)等价. 3.向量组的线性相关性 定义3：设有向量组?1,? 2,…,?s ,若有不全为零 的数k1,k2,…,ks ,使 k1?1+k2?2+…+ ks?s=0 (*) 则称向量组?1,? 2,…,?s 线性相关;否则称为线性无 关. 即当且仅当 k1=k2=…=ks =0 时(*)式成立, 则称向 量组?1,? 2,…,?s 线性无关. 证明(必要性) 如果向量组?1，?2 ，?，?s, (n2)中有某一个向量?i可以由其余s-1个向量线性表示, 利用上述定义,容易得到以下结论: (2)只有一个向量组成的向量组如果该向量为零向量则线性相关;如果该向量为非零向量则线性无关; (3)只有二个向量组成的向量组如果它们对应分量成比例,则线性相关;否则线性无关. (4)一个向量组中含有零向量,则该向量组线性相关. 例4 例5 (6) 例5 向量?1,?2,?3线性无关, 试证：?1+?2,?2+?3, ?3 +?1也线性无关. 证：设有数 k1,k2,k3使 k1(?1+?2)+ k2(?2+?3)+k3(?3 +?1)=0 (*) 整理得 (k1+k3 )?1+(k1+k2)?2+ (k2+ k3)?3 =0 由 ?1,?2,?3 线性无关,得 4. 判定线性相关的几个定理 定理2 若向量组?1,? 2,…,?s线性无关,而?1,? 2,…,?s,? 线性相关,则?必可由向量组?1,? 2,…,?s线性表示,且表示法唯一. 证 因?1,? 2,…,?s,? 线性相关, 故有不全为零的数 唯一性: 定理4 设?1,?2,?,?s可由?1,?2,?,?t线性表示,如果st, 则?1,?2,?,?s线性相关. 第