[数学]第4章 数值积分与数值微分《数值分析》.ppt

* * 计算过程： （1）取 ， ，求 ； 令 （ 为区间 的二分次数）； （2）求梯形值 ，即按区间二分的递推公式计算 ； （3）求加速值，即按加速公式逐个求出 表的第 行各元素： （递推时步长减半，递推次数受限） （4）若 （给定的精度），终止计算，取 ； 否则令 转（2）继续计算。 * * 表： 注：（1）第二列给出子区间长度，① 表示第 步外推； ① ② ⑦ ④ ③ ⑤ ⑧ ⑥ ⑨ ⑩ （2）角标为加速次数 ，相关系数为 。 * * 可以证明： 如果 充分光滑， 表中每一列元素及对角线元素均收敛到真值 （ 固定） 对于 不充分光滑的函数， 也可用龙贝格算法计算，只是收敛慢一些， 这时如果直接用复合辛普森公式计算，可能会好一些。 * * P113例题6 用龙贝格法计算积分值 。 解： 在区间 上仅是一次连续可微 注：这里 的精确值为 。 * * 当 时，柯特斯系数 出现负值，有 特别地，假定 且 ，则 表明：函数计算误差会引起计算结果误差增大，计算不稳定。 故 时的牛顿-柯特斯公式是不用的。 * * 4.2.2 偶数求积公式的代数精度 时，辛甫生公式： 由定理 1 ：求积公式至少具有二次代数精度。 问题 ：求积公式是否具有更高代数精度？ 例如 ：当 时， 也即 ：辛甫生公式 具有 次代数精度。 定理 3 当阶 为偶数时，N-C公式至少具有 次代数精度。 牛顿-柯特斯公式对 的余项为零。 * * 证明：只需验证，当 为偶数时， 因 ，由余项公式有 引进变量 ，并且 ，则 若 为偶数，则 为整数，再令 ，有 * * 对于被积函数：令 即， 是一个奇函数 （证毕） * * 4.2.3 辛普森公式的余项 1. 时为梯形公式，其代数精度为 其积分余项为 牛顿-柯特斯求积公式通常只用 时的三个公式。 ， 2. 时为辛普森公式，其代数精度为 其积分余项为 ， * * 辛甫生公式的余项为： , 系数 为： * * 3. 时为辛普森公式，其代数精度为 类似地可得其余项为： , * * 例题 用梯形公式和辛甫生公式计算积分 的近似值，并估计余项。 解：① 梯形公式 ， ， * * ② 辛甫生公式 * * 对 Newton-Cotes 求积公式： 增加等份数 ，可提高公式阶数，从而增加代数精度。 当 时，求积公式的稳定性无法保证。 复合求积法： 将 等份， ， 在 上，用低阶公式计算 ， 并对所有区间求和 。 4.3 复合求积公式 * * 4.3.1 复合梯形公式 将区间 划分为 等份： ， ， 在每个子区间 上采用梯形公式： ——复合梯形公式 * * 复合梯形公式余项为： ， 由于 ，且： 所以， 使： （ 为平均值） 复合梯形公式余项为： * * 复合梯形公式余项为： 当 时： ， 即复合梯形公式是收敛的。 因复合梯形公式 的求积系数都为正值： 故复合梯形公式是稳定的。 * * 4.3.2 复合辛普森公式 将区间 分为 等份，子区间 的中点为： 在每个子区间 上采用辛普森公式： * * 注意：奇数节点— ，偶数节点— ，端点— 、 复合辛普森求积公式： * * 复合辛普森求积公式余项为： ， 对于