[数学]第5章线性参数的最小二乘法.ppt

第5章 线性参数的最小二乘处理 教学内容 5.1　最小二乘原理 5.2　正规方程 5.3　精度估计 5.4 组合测量的最小二乘法处理 5.1　最小二乘原理 一、引入 待测量（难以直接测量）： 直接测量量： 问题：如何根据　　　　　和测量方程解得待测 量的估计值　　　　　　？ 直接求得　　　　　。 有利于减小随机误差，方程组 有冗余，采用最小二乘原理求 。 讨论： 最小二乘原理： 最可信赖值应使残余误差平方和最小。 二、最小二乘原理 设直接测量量 的估计值为 ， 则有 由此得测量数据 的残余误差 残差方程式 若 不存在系统误差，相互独立并服从正态分布，标准差分别为 ，则 出现在相应真值附近 区域内的概率为 由概率论可知，各测量数据同时出现在相应区域的概率 为 测量值 已经出现，有理由认为这n个测量值 出现于相应区间的概率P为最大。要使P最大，应有 最小 由于结果只是接近真值的估计值，因此上述条件应表 示为 最小 等精度测量的最小二乘原理： 最小 不等精度测量的最小二乘原理： 最小 最小二乘原理（其他分布也适用）： 测量结果的最可信赖值应使残余误差平方和（或加权残余误差平方和）最小。 三、等精度测量的线性参数最小二乘原理 线性参数的测量方程和相应的估计量为： 残差方程为 令 则残差方程的矩阵表达式为 等精度测量最小二乘原理的矩阵形式： 不等精度测量最小二乘原理的矩阵形式： 思路一： 权矩阵 四、不等精度测量的线性参数最小二乘原理 思路二：不等精度　　　等精度 则有： 5.2　正规方程 正规方程：误差方程按最小二乘法原理转化得到的 　　　　　有确定解的代数方程组 一、等精度测量线性参数最小二乘处理的正规方程 正规方程： 特点： 　主对角线分布着平方项系数，正数 　相对于主对角线对称分布的各系数两两相等 看正规方程组中第r个方程： 则正规方程可写成 即 正规方程的矩阵形式 将　　　　　代入到　　　　中，得 （待测量Ｘ的无偏估计） 例5.1：已知铜棒的长度和温度之间具有线性关系： 　　　　　　　　　。为获得０℃时铜棒的长度　 　　　和铜的线膨胀系数　，现测得不同温度下铜 　　　棒的长度，如下表，求　，　的最可信赖值。 2000.60 2001.48 2001.07 2000.8 2000.72 2000.36 60 50 40 30 20 10 解： 1）列出误差方程 令 为两个待估参量，则误差方程为 按照最小二乘的矩阵形式计算 则有： 那么： 二、不等精度测量线性参数最小二乘处理的正规 方程 由此可得不等精度测量线性参数最小二乘处理的 正规方程： 整理得： 即 不等精度的正规方程 将　　　　　代入上式，得 （待测量Ｘ的无偏估计） 例 5.2 某测量过程有误差方程式及相应的标准差： 试求 的最可信赖值。 解：首先确定各式的权 令 三、非线性参数最小二乘处理的正规方程 针对非线性函数 其测量误差方程为 令 ，现将函数在 处展开，则有 将上述展开式代入误差方程，令 则误差方程转化为线性方程组 于是可解得 ，进而可得 。 近似值 为获得函数的展开式，必须首先确定 1）直接测量 2）通过部分方程式进行计算：从误差方程中选取 最简单的t个方程式，如令 ，由此可解得 。 四、最小二乘原理与算术平均值原理的关系 为确定一个被测量X的估计值x，对它进行n次直 接测量，得n个数据 ，相应的权分别为 ，则测量的误差方程为 按照最小二乘原理可求得 结论：最小二乘原理与算术平均值原理是一致的， 算术平均值原理是最小二乘原理的特例。 5.3　精度估计 目的：给出估计量 的精度 一、测量数据精度估计 A）等精度测量数据的精度估计 对 进行n次等精度测量，给出 的估计量。 可以证明 是自由度（n－t）的 变量。 根据 变量的性质，有 则可取 作