[数学]第7章 常微分方程数值解法.ppt

第6章 常微分方程数值解法 §1 引言 §2 欧拉法和改进的欧拉法 §3 龙格库塔法 §4 阿达姆斯方法 §5 二阶线性常微分方程边值问题的数值解 §1 引言 在常微分方程中，我们已经掌握了一些典型方程的解法。但许多形式的方程只能用数值方法求近似解，也就是求在某些点上满足一定精度的近似解。现以求一阶常微分方程初值问题 在区间［a，b］上的解为例，介绍数值方法的基本思想。 设f(x，y)在带形区域 R：｛a≤x≤b，-∞＜y＜+∞｝ 上为x，y的连续函数，且对任意的y满足李普希茨(Libusize)条件 ｜f(x，y1)-f(x，y2)｜≤L｜y1-y2｜ (6―2) 其中(x，y1)、(x，y2)∈R，L为正常数。在求初值问题(6―1) 的数值解时，我们通常采用离散化方法(数值微分、数值积分、泰勒展式等)，求在自变量x的离散点 a=x0＜x1＜x2＜…＜xn=b 上的准确解y(x)的近似值 y0，y1，y2，…，yn 常取离散点x0，x1，x2，…，xn为等距，即 x i+1-xi=h，i=0，1，2，…，n-1 h称为步长。图61表示为初值问题(6―1)在n+1个离散点上的准确解y(x)的近似值。 §2 欧拉法和改进的欧拉法 2.1 欧拉法(折线法) 若将函数y(x)在点xi处的导数y′(xi)用差商来表示，即 再用yi近似地代替y(xi)，则初值问题(6―1) 就化为 例1 用欧拉法求初值问题 2.2 改进的欧拉法 欧拉法虽然形式简单，计算方便，但比较粗糙，精度也低。特别当y=y(x)?的曲线曲率较大时，欧拉法的效果更差。为了达到较高精度的计算公?式，对欧拉法进行改进，将在一点(xi，yi)的切线斜率f(xi?，yi)用两点的平均斜率来代替，即 代入(6―3)式得 不难发现，欧拉公式(6―3)是关于yi+1的显式?，只要已知yi，经一次计算可立即得到yi+1的值;而改进的欧?拉公式(6―5)中的yi+1以隐式给出，且yi+1含在函数f(xi+1 ， yi+1)中，因此?，通常用迭代法求解。具体做法是：先用欧拉公式(6―3)?求出一个y(0)i+1作为初始近似，然后再用改进的欧拉公式(6―5)进行迭代，即 直到满足 当h足够小时，可使得 2.3 预估校正法 改进的欧拉公式在实际计算时要进行多次迭代，因而计算量较大。所谓预估校正法，就是先用(6―3)式算出yi+1的预估值y(p)i+1，然后再用(6―5)式进行一次迭代便得到校正值y(c)i+1，即 虽然式(6―7)仅迭代一次，但因进行了预先估计，故精度却有较大的提高。 在实际计算时，还常常将式(6―7)写成下列形式： 2.4误差估计 初值问题(6―1)的等价积分方程为 用yi、yi+1分别代替y(xi)、y(xi+1)便得到欧拉公式(6―3)。 若积分采用梯形公式 比较式(6―10)和(6―11)得 对(6―9)式右端的积分采用梯形公式并根据梯形公式的误差可得到 因此 所以，改进的欧拉公式的截断误差为O(h3)，也即改进的欧拉法为二阶的。 可以验证，预估校正公式(6―7)与改进的欧拉公式的截断误差相同，均为O(h3)。这里略去证明。 例 2求解初值问题 解 现分别用欧拉公式和改进的欧拉公式进行计算。 这里欧拉公式的具体形式为 §3 龙格库塔法 3.1 泰勒级数展开法 我们还是假设yi=y(xi)，利用泰勒级数展开求y(xi+1)。式(6―10)就是y(xi+1)的泰勒展开式，若取右端前有限项作为y(xi+1)的近似值，就可得到计算y(xi+1)的各种不同截断误差的