[数学]第7章_计算方法常微分方程初值问题的数值解法.ppt

基点 改进尤拉法 龙格-库塔法 精确解 0 1 1 1 0.2 1.184096 1.183229 1.183216 0.4 1.343360 1.341667 1.341641 这样继续下去，计算结果列于表 步长的自动选择 单从第一步看，步长h越小，局部截断误差就越小； 但随着h的缩小，不但引起计算量的增加， 而且也引起舍入误差的严重积累。 所以选取合适的步长h在实际计算中是很重要的。 7.4收敛性与稳定性 稳定性 例题 例题 小结 尤拉法 龙格-库塔法 二阶 三阶 标准四阶 收敛性和稳定性 第7章 常微分方程初值问题的数值解法 7.1 引言 7.2 尤拉方法 7.3 龙格—库塔法 7.4 收敛性和稳定性 7.1 引 言 常微分方程（ordinary differential equation ODE)的求解： 分离变量法、齐次方程的求解、可降阶高阶微分方程求解——特殊类型的微分方程。 微分方程的近似解法： 近似解析法：逐次逼近法、级数解法 数值解法：求离散点上的近似值。 定解问题：微分方程＋定解条件(初值条件、边界条件) 分别称为初值问题和边值问题。 微分方程离散化常用方法 7.2 尤拉方法 （2）梯形公式 隐式方法 2. Euler方法的截断误差 3. 改进的尤拉方法 梯形公式虽然提高了精度，但算法复杂。而在实际计算中只迭代一次，这样建立的预测—校正系统称作改进的尤拉公式。 7.3 龙格-库塔（R-K）法 ? 考察改进的尤拉法，可以将其改写为： 尤拉法 局部截断误差O(h2) 局部截断误差O(h3) 增加计算f(x,y)在不同点的 值，能否提高局部截断误差的阶？ 启示 如果在区间内多取几个点的斜率值，然后把它们的线性组合作为平均斜率的近似值，则有可能构造出更高精度的计算公式，这就是龙格-库塔法的基本思想 二阶龙格-库塔公式 （7-10） 选取适当的 选取过程 将满足条件（7-11）式到一簇公式（7-10） 统称为二阶龙格-库塔公式 这里有3个未知数，2 个方程。 存在无穷多个解 7-11 同理可得三阶龙格-库塔公式 局部截断误差o(h4) 标准四阶龙格-库塔公式 局部截断误差o(h5) 由 例题