[数学]第三章 中值定理与导数应用.ppt

第三章 题组一： 中值定理 2. 求下列极限 （2） （3） （4） 3. 设 f ( x ) 在 4. 证明:当 x 1时, 5. 证明函数 6. 设 f ( x )可导, 7. 设 f ( x ) 在 8. 设 f ( x ) 在 9. 设 f ( x ) 和g ( x ) 10.设 f ( x ) 在 [ 0 , 1 ] 1. 讨论方程 2. 证明： 3. 设 f ( x ) 连续 接2. 4.设 f ( x ) 在 x = x0的 5. 试确定常数 6. 设f ( x ) 在 7. 求数列 8. 过曲线 9. 证明不等式 (2) (3) 设 x?( 0 , 1 ) , 10. 求使不等式 作 业 x y o 上的点 P 作 L 的 切线,此切线与坐标轴相交于点M , N ,试求点 P 的 坐标,使 ?O M N 的面积最小. 解: P M N -1 设 P点坐标为(x ,y)， 则切线方程为 得M ，N点的坐标分别为 又知 分别令 x y o P M N -1 这时 令 得 而 为符合定义的唯一驻点， 由题意知面积最小值一定存在， 故 就是最小值点， 因此 证明: 设 则 当 因此函数在区间 于是在端点 处， 函数取得最小值， 所以 即不等式成立。 令 上单减， 证明: 设 则 令 得 为唯一驻点。 又知 所以 于是 为 的最小值， 所以 故 证明: 设 (习题课) 1.考察函数 在[ 0 , 2 ]上 关于Lagrange定理的正确性. 解: (1) 验证 f (x)在 x = 1处的连续性 。 (2) 验证 f (x)在 x = 0处右连续; x = 2处左连续。 (3) 验证 f (x)在 x = 1处的可导性。 解: 解: 解: 解: 令 证明:当 是同阶无穷小. 证明: x0的某一邻域内具有二阶导数,且 且 (非零常数) 故当 是同阶无穷小. 证明: 由于f(x)连续，因此， 的导 数在 ( a , b )内必有零点. 证明: 满足Rolle定理条件 的零点. 证明: 显然 F(x)在[ x1 , x2 ]上满足Rolle定理, 试证在 f ( x )的两个零点之间必有 试证方程 在 内有唯一实数根. 证明: 先证根的存在性. [ a , +? ) 上连续,在 ( a , +? ) 内可导且 由零点定理知 在 内有实数根. 再证根的唯一性 故 在 内有唯一实根. 试证:在( 0 , 1 )内至少 有一点 ? , 使 证明: 由零点定理得: 在[0 , ? ]上应用Rolle定理得: [ 0 , 1 ]上连续,在( 0 , 1 )内可导且 且对一切 x?( a , b )有 则必存在 使 证明: 将结果变形为: 在 [ a , b ]上连续,在( a , b )内可导 于是有 试证:在( 0 , 1 )内至少 有一点 ? , 使 证明: 显然 F (x) 在[0,1]上满足Rolle中值定理. 上连续,在( 0 , 1 )内可导且 并求出它们 所在的区间. 解: 题组二： 导数的应用 的实数根的个数, 在 上应用零点定理， x y o 因此方程有唯一实数根, x 介于 有三个不同实零点的条件为 证： 令 得： 若 x 因此方程有三个零点必须有 则在 x = 0 处 f ( x )为________. A. 不可导 B. 可导且 C. 取极大值 D.取极小值 解: 且 f ( 0 ) = 0 , 极限的局部保号性 x = 0为函数极小值点. 如果 而 讨论 x = x0为极值点还是( x0 , f (x0))为拐点. P154(15) 解: ( x0 , f (x0))为拐点. 某一邻域内具有三阶连续导数, 不妨设 由极限的局部保号性， 由Taylor公式得 ( x0 , f (x0))不 是极值点. 与曲线 在 x = 0 处有相同的切线和曲率. 解: a , b , c 使抛物线 记 因两曲线同过 所以有 因两曲线在 有相同的斜率， 所以有 因两曲线在 有相同的曲率， 所以有 又因为 所以 在 x = a (a ? 0)有极值,试证:曲线f ( x ) 在(a , f (a) )处 的切线过原点. 证明: ( - ? , +? ) 上可微,函数 曲线 在 处的切线为 因为 在 取得极值， 而 不可导点为： 因此 所以 将其代入切线方程得 于是切线过原点。 解: 的最大值. P183(14) 令 问题转化为求 的最大值， 由于 由于 因此， 的最大值为：