[数学]第三章 概率论与数理统计.ppt

第三章 多维随机变量及其分布 §3、1 二维离散型随机变量 §3、2 二维随机变量的联合分布函数 §3、3 二维连续型随机变量 §3、4 随机变量的独立性 §3、5连续型随机变量的条件分布(略) §3、6 二维随机变量函数的分布 由式(3.6.18)可知,这类问题的解题重点在于“变量置换”与 “积分降次”.其主要计算过程可以归纳如下： （1）写出积分式 （2）将联合概率密度 的具体表达式代入积分式，并依 的非零区域边界情形确定积分限； （3）作代换 （用z代换二次积分中的内层积分变量 （如用z换掉y））； （4）更换z与原外层积分变量（如x）的积分次序（换z为外层 积分变量，其积分上、下限均为常数（可能变为多个积分））； （5）计算内层积分（如关于x的积分） ； （6）依定理中的公式写出所求函数 的（一元） （一般为多段表达形式）. 概率密度 从而 记 且对积分引入变量代换 再对被积函数中的指数部分里的 配方,可得 同理可得 注意到积分中函数恰好为一正态分布 的概率密度,积分值应为1,从而 例5 设随机变量(X, Y)的概率密度是 求 (1) c的值； （2）两个边缘密度。 解：(1)由 (2) 1 所以 随机变量的相互独立性，是事件相互独立性的推广，在概率论与数理统计的实际应用中是一个重要的概念。 定义 设 是两个随机变量，若对任意实数 有 则称设 与 是相互独立的。 如果用 表示 的联合分布函数， 和 分别表示 和 的边缘分布函 数，则对于相互独立的随机变量 和 有： 即对所有的 设 是二维离散型随机变量，则 与 相互独立的充分必要条件是：对 所有可能的取值 有 例1 设 的联合分布列为 证明 与 分布相互独立。 容易算得证明 与 的边缘分布列为： 容易验证： 类似可以验证： 对所有的 成立，所以 与 分布相互独立。 对二维连续型随机变量 ，若联合概率密度为 ，如果 与 相互独立，则： 等式两边对 求二阶混合偏导数可得： 反之也成立。 因此连续型随机变量 与 相互独立的充分必要条件是： 例2 证明：若 则 与 相互独立的充要条件是 由计算边缘概率密度为： 证明 假如 ，则 的联合密度为： 所以 反过来， 如果 与 相互独立，则 即对任何 都成立 特别取 上式化为： 又 为常数，从而 在实际问题中经常会遇到由随机变量为自变量构成的函数，比如对某工厂生产的一批钢球进行检验，钢球的直径 是一随机变量，钢球的体积 是关于 的函数，我们希望通过直径 的分布情况了解体积 的分布情况。 一般来讲，若 是一随机变量， 是 的某函数 ，由于 的取值会随 的变化而变化，从而 也是一个随机变量，也需要研究它的分布情况，下面我们分几种情况进行讨论。 设二维离散型随机变量 的联合分布律为 ， 是 的函数，则 的可能取值 及相应概率 可以列成表3-8. … … … … 表3-8 将表3-8中 之值相同者合并 的分布律. 成一项，并将其对应概率相加，即为所求（一维）随 机变量 3.6.1 二维离散型随机变量函数的分布 问题描述 例1 设二维随机变量 的联合分布律如表3-9所示 0 -1 1 1 0 -1 求下列随机变量的分布律： ； ； 表3-9 解 将 的所有可能取值及取这些值的概率变矩形表为 的取值于表中的第一行与第二行 与 的相应函数 的取值依次列出，即得表3-10. 条形表，并置其概率与 （即列所谓的“倒表”）；然后把计算出的 表3-10 -2 1 0 -1 0 -1 2 1 1 0 1 (1,1) (1,0) (1,-1) (-1,1) (-1,-1) 利用事件及概率得运算法则，将 中取值相同得概率相加，可依次得出相应分布律， 如表3-11～表3-13所示. 表3-11 2 1 0 -2 表3-12 1 0 -1 表3-13 -1 例2 设离散型随机变量 与 相互独立，且分布律分别为 试求 的分布律. 与 的可能取值，知 的所有可能取值为0,1,2,….根据事件的运算规律，有 解 由 于是，由概率运算法则，可得 因为 与 相互独立，故 这就是求独立离散型和的分布公式，也称为离散卷积公式. 相对3.6.1所讨论的二维离散型随机变量函数分布的计算问题 来说，求二维连续型随机变量函数的分布要复杂的多. 这里只介绍