[数学]第三讲 导数的概念及计算.ppt

第三讲 第三讲 一、 导数的概念 2) 曲线的切线斜率 两个问题的共性: 2、导数的定义 3、 单侧导数 定理1. 函数 例1. 求函数 说明： 例3. 例5. 证明函数 4、 导数的几何意义 例6. 问曲线 5、 函数的可导性与连续性的关系 牛顿(1642 – 1727) 莱布尼兹(1646 – 1716) 二、求导法则 (3) 例1. 例2. 求证 2、反函数的求导法则 例3. 求反三角函数及指数函数的导数. 2) 设 3、复合函数求导法则 推广：此法则可推广到多个中间变量的情形. 例4. 求下列导数: 例5. 设 例6. 设 三、初等函数的求导问题 2. 有限次四则运算的求导法则 例7. 例9. 例11. 设 例13. 设 第三节 一、隐函数的导数 例1. 求由方程 例2. 求椭圆 3.对数求导法 说明:对数求导法适用于下列两种类型 2) 由多个含变量x因式的乘,除,乘方,开方表示的函数 二、由参数方程确定的函数的导数 例4. 设 三、相关变化率 例7. 一气球从离开观察员500 m 处离地面铅直上升, 四、高阶导数 例1. 例2. 设 设 求 解: 思考: 若 存在 , 如何求 的导数? 这两个记号含义不同 练习: 设 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解: 记 则 (反双曲正弦) 的反函数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 1. 常数和基本初等函数的导数 (P94) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 ( C为常数 ) 3. 复合函数求导法则 4. 初等函数在定义区间内可导, 由定义证 , 说明: 最基本的公式 其它公式 用求导法则推出. 且导数仍为初等函数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 求 解: 例8. 设 解: 求 机动 目录 上页 下页 返回 结束 求 解: 关键: 搞清复合函数结构 由外向内逐层求导 机动 目录 上页 下页 返回 结束 注意: 1) 2) 搞清复合函数结构 , 由外向内逐层求导 . 例10. 思考与练习 对吗? 机动 目录 上页 下页 返回 结束 求 解: 方法1 利用导数定义. 方法2 利用求导公式. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例12 . 设 解: 其中 可导, 求 机动 目录 上页 下页 返回 结束 其中 在 时, 下列做法是否正确? 在求 处连续, 一、隐函数的导数 二、由参数方程确定的函数的导数 三、相关变化率 机动 目录 上页 下页 返回 结束 隐函数和参数方程求导 相关变化率 第三讲 1.定义:若由方程 可确定 y 是 x 的函数 , 由 表示的函数 , 称为显函数 . 例如, 可确定显函数 可确定 y 是 x 的函数 , 但此隐函数不能显化 . 则称此函数为隐函数 . 2.隐函数求导方法: 两边对 x 求导 (含导数 的方程) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 在 x = 0 处的导数 解: 方程两边对 x 求导 得 因 x = 0 时 y = 0 , 故 确定的隐函数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 在点 处的切线方程. 解: 椭圆方程两边对 x 求导 故切线方程为 即 机动 目录 上页 下页 返回 结束 的导数 . 解: 两边取对数 , 化为隐式 两边对 x 求导 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例3. 求 1) 幂指函数 求导 : 按指数函数求导公式 按幂函数求导公式 注意: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 对 x 求导 两边取对数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 若参数方程 可确定一个 y 与 x 之间的函数 可导, 且 则 时, 有 时, 有 (此时看成 x 是 y 的函数 ) 关系, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 ? , 且 求 已知 解: 注意 : 机动 目录 上页 下页 返回 结束 为两可导函数 之间有联系 之间也有联系 称为相关变化率 相关变化率问题解法: 找出相关变量的关系式 对 t 求导 得相关变化率之间的关系式 求出未知的相关变化率 机动 目录 上页 下页 返回 结束 其速率为 当气球高度为 500 m 时, 观察员 视线的仰角增加率是多少? 解: 设气球上升 t 分后其高度为h ,