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运用函数单调性巧解题 宜兴市教师进修学校 吴健静（214200） 函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中。某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用。因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的。 求代数式的值 例1　求实数满足，，求的值 解　由已知得， 令，易知在R上是奇函数又是增函数。 由上可知，，即 ∴，∴ 2． 证明恒等式 例2　已知正实数m,n满足,且m1, 求证：m=n 证明 由0m1，n0，得1，从而，所以n1 由得，构造函数，∈(0,1)， 由，可知函数在(0,1)上是单调增函数， ∵ ∴m=n 3． 解方程 例3　解方程 解 原方程化为，构造R上的单调增函数 则，且为奇函数， ∴，从而，解之得方程的解集为 4． 解不等式 例4 解不等式 解　令 （） 与在(0,+∞)上是减函数, ∴在(0,+∞)上也是减函数,且，故原不等式即为， ∴， ∴原不等式解集为（0，1） 5． 证明不等式 已知：，求证：≤ 证明 设 （≥0），易证在≥0时是增函数， ∵≤ ∴≤ ∴≤ =≤ 6． 比较大小 已知：a和b是直角三角形的两条直角边，c为斜边，，试比较与 之间的大小 解 n=1时，，时，，， ∴在时为减函数 ∴n≥3时， ∴n≥3时, 7． 解最值问题 例7　已知0 a 1,且a+b= 1,求的最小值 解 由0a1且a+b=1知，0b1且1=a+b≥2(当且仅当a=b=时等号成立) 由此得，0≤ab≤ ∴= =≥ 考察函数 (0x≤)是单调减函数,min= ∴的最小值为 总之，运用函数单调性解题关键在于根据题目的特点，构造一个恰当的函数，而要构造这样的函数，既要深刻理解数学的知识内容和内在联系，又要灵活运用数学思想方法，所以运用函数单调性解题的过程，即是数学知识和数学思想方法有机结合与完美统一的过程，又是贯通各种数学知识和方法，发展学生数学能力的过程。