[数学]第二讲-能带论-近自由电子近似-final-2008.pdf

能带理论 能带理论的基本近似 布洛赫定理 布洛赫定理的证明 中心方程 近自由电子近似 第13讲_布洛赫定理—— 能带理论 能带理论的基本近似 在自由电子模型中，金属中的传导电子被认为是独立 的和自由的，电子和电子之间、电子和晶格离子之间 的相互作用被忽略了。复杂的多相互作用的多体问题 被简化成平均势场为零的单电子的量子运动。如果考 虑晶格离子和电子形成的平均势场不为零，问题就复 杂得多。 第13讲_布洛赫定理—— 能带理论 能带理论是目前研究固体中电子运动的一个主要理论 基础。能带理论最初的成就是用量子力学阐明了晶体 中电子运动的普遍性的特点。能带理论是一个近似的 理论，在固体中存在大量的电子，他们的运动是相互 关联的，每个电子的运动都要受到其它电子运动的牵 连，严格地解这种多电子系统显然是不可能的。能带 理论的出发点是固体中的电子不再束缚于个别的原子， 而是在整个固体中运动，称为共有化电子。为了解决 多电子在不为零的平均势场中的复杂运动，使问题简 化，通常考虑三个基本假设。 第13讲_布洛赫定理—— 能带理论 绝热近似 考虑到原子核或离子实的质量比电子大得多，电子 运动的速度比离子实快得多，在讨论传导电子运动时，可以 认为离子是固定在瞬时位置上。这样多粒子的多体问题就简 化为多电子的问题。 单电子近似 通常利用哈特里－福克自洽场方法，每个电子 是在固定的离子势场和其它电子的平均势场中运动，多电子 问题就简化为单电子问题。单电子近似也称为哈特里－福克 近似或自洽场近似。更精确的单电子理论是密度泛函理论。 周期场近似 价电子的等效势场——包括离子实的势场，其它 价电子的平均势场以及考虑电子波函数反对称而带来的交换 作用。所有离子势场和其它电子的平均势场被简化为周期性 势场，不考虑晶格振动和晶体缺陷对周期场的破坏。把原子 实偏离平衡位置的影响看成微扰。 第13讲_布洛赫定理—— 能带理论 薛定谔方程 在绝热近似、单电子近似和周期场近似下，固体中电子运 动就简化为单电子在周期性势场中的运动。在没有外加磁 场和电场时，电子运动的薛定谔方程为： 2 2 Hψ(r ) [=− ∇ +V(r )]ψ Eψ 2m 晶格周期性势场 V( r) V( r =+R ) l 其中R 为晶格矢量，如果用a 、a 、a 表示晶格的三个基 l 1 2 3 矢，则 R l a =+l a +l a ，其中l 、l 、l 为整数。 l 1 1 2 2 3 3 1 2 3 ——周期性势场中运动的电子通常称为布洛赫电子。 第13讲_布洛赫定理—— 能带理论 §4.1 布洛赫定理 布洛赫定理—— 势场 V( r) 具有晶格周期性时，单电子的 波函数满足