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[数学]第五章 傅立叶变换
数学物理方法 第五章 傅立叶变换 傅立叶变换 傅立叶级数 傅立叶变换 狄拉克函数 本章小结 傅立叶级数 三角级数 定义 由周期为2π的正弦和余弦函数的线性组合而成的无穷级数 傅立叶级数 傅立叶展开 傅立叶展开定理: 周期为2π的函数f(x) 可以展开为三角级数, 展开式系数为 傅立叶级数 展开举例 对称函数 对奇函数: 傅立叶级数 傅立叶展开的意义: 理论意义:把复杂的周期函数用简单的三角级数表示; 应用意义:用三角函数之和近似表示复杂的周期函数。 例如:对称方波的傅立叶展开 傅立叶级数 重要推广 推广1: 问题:把周期为T=2L的函数f(t)的展开: 方法:对基本公式作变换x→πt/L, 傅立叶级数 推广2 问题:把定义在 [-L, L] 上的函数 f(t)展开; 方法:先把它延拓为周期函数(即把它当成是一个周期 为2L的函数的一部分), 再按推广1展开; 注意:所得到的级数仅在原定义范围中与f(t)一致。 延拓前 延拓后 傅立叶级数 推广3 问题:把定义在 [0, L] 上的函数 f(x)展开; 方法:先把它延拓为[-L, L]上的奇函数或偶函数, 再按推广2把它延拓为周期函数, 最后按推广1展开; 注意:所得到的级数仅在原定义范围中与f(x)一致。 公式: 傅立叶级数 展开的复数形式 展开公式: 傅立叶变换 非周期函数的傅立叶展开 问题: 把定义在(-∞,∞)中的非周期函数 f (x)展开; 思路: 把该函数定义在(-L,L)中的部分展开,再令L→∞; 实施: 展开公式 傅立叶变换 解决方法: 把 nπ/L 作为新变量,即定义ωn = nπ/L ; 把 cnL/π作为新的展开系数,即定义F(ωn)=cnL/π. 公式的新形式: 展开公式: 傅立叶变换 例题1 矩形函数的定义为 傅立叶变换 傅立叶变换 傅立叶变换的意义 数学意义 从一个函数空间(集合)到另一个函数空间(集合)的映射; f(x)称为变换的原函数(相当于自变量),F(ω)称为象函数。 应用意义 把任意函数分解为简单周期函数之和,F(ω)的自变量为频率,函数值为对应的振幅。 物理意义 把一般运动分解为简谐运动的叠加; 把一般电磁波(光)分解为单色电磁波(光)的叠加。 物理实现 分解方法:棱镜光谱仪、光栅光谱仪; 记录方式:(用照相底版)摄谱仪、(用光电探测器)光度计。 傅立叶变换 傅立叶变换的性质 一般假定 f(x) → F(ω), g(x) → G(ω) 奇偶虚实性 f(x)为偶函数,F(ω)=∫f(x)cos(ωx)dx/(2π)为实函数; f(x)为奇函数,F(ω)=-i∫f(x)sin(ωx)dx/(2π)为虚函数 线性性质 k f(x) → k F(ω); f(x)+g(x) → F(ω)+ G(ω) 分析性质 f ’(x) → iωF(ω); 傅立叶变换 位移性质 f(x-a) → exp(-iωa)F(ω) ; exp(iφx)f(x) → F(ω-φ) 相似性质 f(ax) → F(ω/a)/a; f(x/b)/b → F(bω) 。 卷积性质 f(x)*g(x)≡∫f(ξ)g(x-ξ)dξ → 2πF(ω)G(ω); f(x)g(x) → F(ω)*G(ω)≡∫ F(φ)G(ω-φ)dφ 对称性质 正变换与逆变换具有某种对称性; 适当调整定义中的系数后,可以使对称性更加明显。 傅立叶变换 应用举例 傅立叶变换 验证 傅立叶变换 推广 推广1 问题:把定义在 [0, ∞) 上的函数 f(t)展开; 方法:先把它延拓为(-∞,∞)上的奇函数或偶函数, 再按公式进行傅立叶变换; 注意: 偶函数满足条件f’(0)=0,形式为 f(|t|); 奇函数满足条件f(0)=0,形式为 sgn(t)f(|t|). 结果:所得到的傅立叶积分仅在原定义范围中与f(t)一致。 傅立叶变换 推广2 问题:多元函数的傅立叶变换 公式: 傅立叶变换 推广3 傅立叶变换的收敛条件:|F(ω)|≤∫|f(x)|dx∞ 问题:最简单的函数如多项式不满足傅立叶变换的条件; 方法:对傅立叶变换中的参数ω进行延拓, 定义 p =σ+iω,其实部为正数; 同时把变换的区域改成右半轴。 狄拉克函数 概念 问题 质点的密度函数如何表示? 思路 质点是物体在尺度趋于零时的理想模型; 一个位于原点的单位质点,可以看成一个线密度为h rect(hx)的物体在宽度d=1/h趋向零时的极限; 极限密度为δ(x)=lim h→∞ h rect(hx) 一般定义 狄拉克函数 狄拉克函数 性质 奇偶性质 δ(-x)=δ(x), δ’(-x)=δ’(x) 分析性质 狄拉克函数 狄拉克函数的应用
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