[数学]第五章 数值积分与数值微分.ppt

为了求导数方便，令 当 时得到三点公式： 例4：已知函数 在 处的函数值, 应用三点公式计算这些点处的导数值. 解： 应用三点公式 计算结果如下: 类似地可以建立高阶导数的微分公式。 在区间 上 二、利用3次样条插值函数求数值微分的思想 如果只求节点上的导数 类似地求高阶导数 * 因为 例2：分别利用复化梯形公式、复化Simpson公式计算 积分 的近似值，要求按复化Simpson公 式计算时误差不超过 。 解： 首先来确定步长 复化Simpson公式的余项： 其中 本题 的求法： 由归纳法知 解不等式得 得到函数表: 0 1/8 1/4 3/8 1 0.997398 0.989688 0.976727 1/2 5/8 6/8 7/8 1 0.958851 0.936156 0.908858 0.877193 0.841471 复化梯形公式(n=8) 复化Simpson公式(n=4) 要确定步长步长要根据余项确定，这就涉及到高阶导数 的估计，且估计值往往偏大。 三、积分步长的自动选取： 复化求积公式缺陷： ?基本思想（以复化梯形求积公式为例）： 终止法则： 问题一：如何由前一项推出后一项，产生递归？ 问题二：终止法则是否有理论依据？？ 问题一的解决： 将区间 n等分： 将区间 2n等分： 问题二的解决： 由复化梯形公式的余项知 变化不大时 由此得到近似关系式 误差控制条件 是合理的。 注：自动选取步长思想可以用于复化S和C公式。 收敛速度慢 ?对复化Simpson公式、Cotes公式可以类似得到 不足 ?对复化梯形公式 加速 收敛 §5.4 Romberg积分法 ? Romberg积分思想 Romberg积分就是不断地组合低阶公式为高阶公式，进而计算积分。 ? Romberg积分表 课本p.142例。 §5.5 Gauss求积公式 一、 Gauss积分问题的提法 ?求积节点个数确定，如何选取求积节点使得求积公式代数精度最高，最高是多少。 插值型求积公式形式： 形如 的插值型求积公式的代数精度最高不超过2n+1次。 证明： 其中 令 求积公式不能精确成立。 如果一组节点 ，使得 插值型求积公式具有2n+1次代数精度，则称该组节点为Gauss点，相应的公式为Gauss型求积公式。 二、 Gauss求积公式性质（存在性，余项，稳定性和收敛性） ? 存在性： 插值型求积公式的节点 是Gauss点的充要条件是 与任何不超过n次的多项式 正交，即 证明： 必要性 设 则 因为求积公式是Gauss型： 充分性 对于 其中 所以节点 是Gauss点 该定理表明： 上的n+1次正交多项式（权 函数是1）的零点是Gauss求积公式的Gauss点。 ? 余项： 证明： 设 是满足下列条件的Hermite插值 第二积分 中值定理 ? 稳定性： Gauss型求积公式总是稳定的。 证明： 只需证明： 事实上，取 ? 收敛性： 是收敛的。 设 ，则Guass型求积公式 三、Gauss求积公式的更一般形式 插值型求积公式（*）具有2n+1次代数精度。 求积节点： 求积系数： 为权函数）： ?插值型求积公式 ?Gauss求积公式： 四、 Gauss求积公式的构造 方法： 取n+1次正交多项式的n+1个零点为求积节点， 构造插值型求积公式即为Gauss求积公式。 ?区间转化 → 以Legendre多项式和Chebyshev多项式为例 ? Gauss-Legendre求积公式 其中求积节点是n+1次Legendre多项式的零点， P147 表5.5.1 例1：应用三点Gauss-Legendre求积公式： 解： 作变换 见文献[13] ? Gauss-Chebyshev求积公式 其中求积节点 是n+1次Chebyshev多项式的零点： 例2：应用两点Gauss-Chebyshev求积公式计算积分 解： 作变换