[数学]第六章 插值法.ppt

* * 结束 第六章 插值法 插值法在数值分析这门课程中是最基础，且应用最广泛的知识． 在工程应用中对于函数 y =f (x)常常不能得到一个具体的解析表达式，它可能是通过实验、测量或者中间计算而得到的一组数据(xi,f(xi)) i=0,1,2,…,n，或者虽然有函数y =f (x)的解析表达式，但其关系式相当复杂，不便于计算和使用．因此我们需要用一个比较简单的函数 y = y(x) 来近似代替数据, ,或近似代替函数y =f (x) ,使 称y = y(x)为函数y = f(x)在点x0,x1,…,xn 处的插值函数． 利用插值函数可以近似计算被插值函数f (x)的函数值和导数值以及进行数值积分和数值微分等近似计算．插值函数的形式可以是多项式、有理分式、三角函数和指数函数等．但在工程计算上使用最多的是多项式插值和分段多项式插值． * 结束 定义6.1 设f(x)在[a,b]上有定义,相异的点xi, i=0,1,2,…,n, 都在[a,b]上，不妨设 又设f(xi)为f(x)在这些点上的准确值，若存在一个多项式y(x)，使 则称y(x)为函数f(x)的插值多项式, 称[a,b]为插值区间,条件(6.1)称为插值条件．其几何意义如图6－1所示．求插值多项式，即是使曲线y(x)与f(x)在平面上有n+1个交点． * 结束 为保证插值多项式y(x)的惟一性，限制y(x)为次数不超过n次的多项式，记Mn为次数不超过次的多项式集合． 定理6.1 设y(x)? Mn ,则满足插值条件(6.1)的y(x)存在且惟一． 证 令 由插值条件(6.1),有线性方程组 方程组(6.2)有个待定参数，其系数行列式为Vandermonde行列式 * 结束 由Cramer法则，方程组(6.2)存在一组惟一的解． 可以利用求解方程组(6.2)来构造插值多项式，称之为待定参数法．但更多的是用以下的插值方法． §6.1 Lagrange插值 6.1.1??????? 线性插值 设有数据 解方程组 * 结束 得： 此时的插值多项式为 记 称 为Lagrange插值基函数，则 * 结束 几何意义如图6－2所示 例6.1 已知 , 求 的近似值． 解 插值条件为 准确值 　=2.6457513 * 结束 6.1.2 二次插值 已知数据 ，求一个二次多项式 使其满足 由(6.3)的启示，令 其中 均为二次多项式，且满足 现用待定参数法来确定 * 结束 由于 为二次函数，且 ， 故可令 由 有 所以 同理可得 * 结束 称 为Lagrange插值基函数， 二次插值多项式为 其几何意义如图6－3所示．即用通过三个点 的抛物线段来近似代替区间[x0, x2]上的曲线段. * 结束 例6.2 已知 ，求 的近似值． 解 插值条件为 6.1.3 n次插值 类似方法可推导出一般的n次插值多项式，引进记号． 则有 * 结束 n次的Langrange插值基函数为 n次插值多项式为 称(6.7)为n次Lagrange插值多项式，常记为 ． * 结束 6.1.4 插值余项 定义6.2 设y(x)是在[a, b]上满足插值条件的f(x)的插值多项式．称 为插值多项式y(x)的余项． 定理6.2 设f(x)在[a, b]上具有直到n+1阶的导数，则有 其中?? [a, b]且与x有关. 查看证明 * 结束 例6.3 设 ，给出如下数据，求 的近似值． 解 -0.223144 -0.356675 -0.693147 -.0916291 ln(x) 0.8 0.7 0.5 0.4 x 同理可计算 准确值 余项 * 结束 Lagrange插值多项式的一个明显的优点是形式对称，易于编制程序，只需用二重循环就可完成 的计算． 对大多数插值而言，余项将会随着节点个数增加(即插值多项式次数的提高)而减小．因此一般可以通过增加插值节点的个数，即提高插值多项式的次数来提高插值精度． 但是在使用Lagrange插值多项式时，当增加插值节点时，原来算出的每一个插值基函数