[数学]第六章 理想流体动力学1.ppt

第一节 平面势流 首先定义平面流动。 平面流动是指对任一时刻，流场中所有决定运动的函数 仅与两个坐标及时间有关，亦称为二元或二维流动。 第二节 速度势函数和流函数 一、速度势函数 二、流函数 在平面流动中，不可压缩流体的连续方程为： 三、流函数和势函数的关系 在平面有势流动中，同时存在流函数和速度势，有： 作业： 6-1 6-3 第三节 复势与复速度 由前面的内容已知，势函数和流函数均为调和函数，且它们之间满足柯西—黎曼条件： 第四节 几种基本的平面势流 一、均匀流 二、点源和点汇 三、点涡 第五节 势流的叠加 一、势流叠加原理 二、点汇和点涡叠加的流动---旋涡流 若点源和点涡同置于坐标原点，叠加后组成一新的流场，其合成流动的复势为： 三、点源和点汇叠加的流动---偶极子流 点源位于点A(-a,0)，点汇位于点B(a,0)，则叠加后流动的复势为： 作业： 6-4 6-6 第六节 圆柱体绕流 2、速度分布 流场中任一点 的速度分量为： 3、柱面压力分布 列无穷远处和圆柱面上某点的伯努利方程，可得： 4、柱面所受合力 从图中可看出，圆柱面上的压力分布对称X轴和Y轴，因此，流体在圆柱面上的合力等于零。将圆柱面上的压力在圆柱面上积分，也可得到流体作用在圆柱体上的合力为零 解：差压计液面差可根据静力学原理如下计算： 解：此问题属于圆柱绕流问题，按照速度分布公式，有 ： 在极坐标系中，速度分量为： 沿包围圆柱体的任意周线的速度环量为： 所以均匀流与偶极子流叠加得到的流动为圆柱体无环量绕流流动。 柱面上 速度分布： 直角坐标系下，柱面上的速度分布： 这说明，沿圆柱体表面流体只有切线方向的速度，没有径向速度，即组合流动紧贴圆柱表面，既没有流体穿入，也没有脱离圆柱面。 柱面上速度分布： 或 在圆柱面上速度是按照正弦规律分布的。在 （B点）和 （A点）处， ，A、B二点是分流点，称它们为前驻点和后驻点。 在圆柱面的上下顶点， ，达到圆柱面速度的最大值。 将圆柱面上的速度带入上式，可得圆柱面上的压强分布： 工程上常采用压强系数来表示圆柱体上任一点处的压强，其定义为： 由上式知，无量纲压强系数与圆柱体的半径和无穷远处的速度、压强无关，仅是坐标 的函数。具有这样特性的压强系数，也可以推广到其他形状的物体（例如叶片的叶型等）。 在圆柱面的前驻点 和后驻点 处， ，这时压强具有最大值。在圆柱面的上、下顶点处， ， ，此时压强具有最小值。沿圆柱表面压强系数的分布如图所示。 流体作用在圆柱体上的总压力沿X轴和Y轴的分量，即圆柱体受到的与来流方向平行和垂直的作用力，分别称为流体作用在圆柱体上的阻力D和升力L。 所以根据共轭复变数的运算方法可以简便地求出流场中任一点的速度。 对于平面无旋流动，只要求出流场的复势或复速度，即可求出速度场。 流体作等速直线运动，流场中各点的速度大小相等、方向相同的流动称为均匀流。 设均匀流与X轴平行，速度为 ，则： 由于 故 对上式进行积分得： 上式中积分常数对流动没有影响，可以舍去，所以有： 故均匀流的等势线为一簇平行于Y轴的直线，流线是一簇平行于X轴的直线。 均匀流的复势为： 流体从一点径向均匀地呈直线向外流出，这种流动称为点源，这个点称为源点。如果流体径向直线均匀地流向一点，这种流动称为点汇，这个点称为汇点。 由于流动是径向的，根据流动连续原理，在极坐标中通过任一圆柱面的流量（也称为点源或点汇的强度）都相等，即 所以有： 式中 是点源或点汇流出或流入的流量，称为点源或点汇的强度。点源取正号，点汇取负号。 由于 积分上式，并令积分常数为零，得到： 这就是点源和点汇的速度势和流函数。 点源和点汇的复势为： 当 时，得到等势线为半径不同的同心圆； 当 时，得到流线为通过原点极角不同的射线，等势线与流线正交。当 时， ，源点或汇点称为流动的奇点。在该点处的流动没有意义，必须排除在所考虑的流场之外。 若源点和汇点的位置不在原点，则其复势应为： 点源和点汇的复势为： 流体质点沿着同心圆的轨迹运动，且其速度大小与向径 成反比的流动称为点涡，又称为自由涡。除涡线本身外为无旋流动。 设点涡的强度为 ，则任一半径 处流体的速度由斯托克斯定理可求得： 于是有： 所以原点处有旋无势，中心处为固体涡： 其它处为自由涡，速度分布为： 点涡所感生的流体运动，除点涡本身外，均为无旋