[数学]第六节 空间曲线及其方程.ppt

一、空间曲线的一般方程 二、空间曲线的参数方程 三、空间曲线在坐标面上的投影 内容小结 2. 二次曲面 思考与练习 一、平面的点法式方程 二、平面的一般方程 三、两平面的夹角 内容小结 一、空间直线的一般方程 二、空间直线的参数方程与对称式方程 三、两直线的夹角 1. 空间直线方程 2. 线与线的关系 四、直线与平面的夹角 面与线间的关系 第九节 二次曲面 常见问题 (2)点 (3) 点 直线的对称式方程 又叫，点向式方程 直线的一组方向数 方向向量的余弦称为直线的方向余弦. 直线的参数方程 消去参数t，有 例1 用对称式方程及参数方程表示直线 定义 直线 直线 ^ 两直线的方向向量的夹角.（锐角） 两直线的夹角公式 两直线的位置关系： // 直线 直线 例如， 一般式 对称式 参数式 内容小结 直线 直线 夹角公式: 定义 直线和它在平面上的投影直线的夹角 称为直线与平面的夹角． ^ ^ 直线与平面的夹角公式 直线与平面的位置关系： // 平面 ? : L⊥? L // ? 夹角公式： 直线 L : 二次曲面的定义： 三元二次方程所表示的曲面. 讨论二次曲面性状的截痕法： 用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌． 以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面． 一、基本内容 （一）椭球面 图形有界，并且关于坐标面对称。 椭球面与三个坐标面的交线： 椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化. 椭球面与平面 的交线为椭圆 同理与平面 x=k 和 y=k 的交线也是椭圆. 当k由0变到c时,椭圆由大变小, 最后缩成一点。 （二）抛物面 （ 与 同号） 椭圆抛物面 z x y o x y z o （三）双曲面 单叶双曲面 双叶双曲面 x y o * 曲线上的点都满足方程，满足方程的点都在曲线上，不在曲线上的点不能同时满足两个方程. 空间曲线C可看作空间两曲面的交线. 特点： 注：表示同一条曲线的方程不唯一 第六节 空间曲线及其方程 例1 方程组 表示怎样的曲线？ 解 上半球面, 圆柱面, 交线如图. 空间曲线的参数方程 比如质点运动的轨迹 动点从A点出发，经过t时间，运动到M点 螺旋线的参数方程 取时间t为参数， 解 消去变量z后得： 曲线关于 的投影柱面 设空间曲线的一般方程： 以此空间曲线为准线，垂直于所投影的坐标面. 投影柱面的特征： 投影曲线的研究过程 空间曲线 投影曲线 类似地：可定义空间曲线在其他坐标面上的投影 面上的投影曲线, 面上的投影曲线, 空间曲线在 面上的投影曲线 例3 求曲线 在坐标面上的投影. 解 （1）消去变量z后得 在 面上的投影为 所以在 面上的投影为线段. （3）同理在 面上的投影也为线段. （2）因为曲线在平面 上， 例5 补充: 空间立体或曲面在坐标面上的投影. 空间立体 曲面 1. 空间曲面 三元方程 球面 旋转曲面 如, 曲线 绕 z 轴的旋转曲面: 柱面 如,曲面 表示母线平行 z 轴的柱面. 又如,椭圆柱面, 双曲柱面, 抛物柱面等 . 三元二次方程 椭球面 抛物面: 椭圆抛物面 双曲抛物面 双曲面: 单叶双曲面 双叶双曲面 椭圆锥面: 空间曲线 三元方程组 或参数方程 求投影曲线 (如, 圆柱螺线) 斜率为1的直线 平面解析几何中 空间解析几何中 方 程 平行于 y 轴的直线 平行于 yoz 面的平面 圆心在(0,0) 半径为 3 的圆 以 z 轴为中心轴的 圆柱面 平行于 z 轴的平面 1. 指出下列方程的图形: 如果一非零向量垂直于一平面，这向量就叫做该平面的法线向量 (垂直于平面内的任一向量)． 已知平面?的法向量 是平面?上的一定点， 第七节 平面及其方程 平面的点法式方程 由平面的点法式方程 平面的一般方程 法向量 结论：平面方程是三元一次方程，任意三元一次方程的图形是一平面。 所求平面方程为 设平面为 将三点坐标代入得 解 将 代入所设方程得 平面的截距式方程 定义 （通常取锐角） 两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角. 按照两向量夹角余弦公式有 两平面夹角余弦公式 两平面位置特征： // 例5 研究以下各组里两平面的位置关系： 1.平面基本方程: 一般式 点法式 截距式 三点式 2.