[数学]第四章 线性空间.ppt

§4.1 线性空间的概念 2 维数 基与坐标 第三节 基变换与坐标变换 一、基变换公式与过渡矩阵 二、坐标变换公式 三、小结 思考题 思考题解答 基变换公式 　 矩阵 称为由基 到基 的过 渡矩阵． 过渡矩阵 是可逆的． 若两个基满足关系式 则有坐标变换公式 或 证明 * * 第六章 线性空间与线性变换 数学与计算机科学系 向量空间又称为线性空间? 是线性代数中一个最基本的概念? 在前面中? 我们把有序数组叫做向量? 并介绍过向量空间的概念? 在这一章中? 我们要把这些概念推广? 使向量及向量空间的概念更具一般性? 当然? 推广后的向量概念也就更加抽象化了? (II)在V中存在数量乘法? 即对任意??V? k?R? 有k??V? 提示? 我们称V对于加法运算是封闭的? 设V是一个非空集合? R为实数域? 如果以下三个条件被满足? 则称非空集合V为实数域R上的一个线性空间? (I)在V中存在加法运算? 即对任意?? ??V? 有????V? 定义1 (ii)(???)?????(???)? (iii)在V中存在零元素0? 对任何??V? 都有??0??? (iv)对任何??V? 都有?的负元素??V? 使????0? (v)1???? (vi)?(??)?(??)?? (vii)(???)???????? (viii)?(???)??????? (II)在V中存在数量乘法? 即对任意??V? k?R? 有k??V? (III)V中的加法和数量乘法满足以下运算规律(设?? ?? ??V? ?? ??R)? (i)???????? 提示? 我们称V对于乘数运算是封闭的? 设V是一个非空集合? R为实数域? 如果以下三个条件被满足? 则称非空集合V为实数域R上的一个线性空间? (I)在V中存在加法运算? 即对任意?? ??V? 有????V? 定义1 (ii)(???)?????(???)? (iii)在V中存在零元素0? 对任何??V? 都有??0??? (iv)对任何??V? 都有?的负元素??V? 使????0? (v)1???? (vi)?(??)?(??)?? (vii)(???)???????? (viii)?(???)??????? (II)在V中存在数量乘法? 即对任意??V? k?R? 有k??V? (III)V中的加法和数量乘法满足以下运算规律(设?? ?? ??V? ?? ??R)? (i)???????? 凡满足八条规律的加法及乘数运算? 称为线性运算? 设V是一个非空集合? R为实数域? 如果以下三个条件被满足? 则称非空集合V为实数域R上的一个线性空间? (I)在V中存在加法运算? 即对任意?? ??V? 有????V? 定义1 说明? 在前面? 我们把有序数组称为向量? 并对它定义了加法和乘数运算? 容易证这些运算满足八条规律? 当时把对于运算为封闭的有序数组的集合称为向量空间? 显然? 那些只是现在定义的特殊情形? 比较起来? 现在的定义有了很大的推广? 1? 向量不一定是有序数组? 2? 向量空间中的运算只要求满足八条运算规律? 当然也就不一定是有序数组的加法及乘数运算? 例1 次不超过n的多项式的全体? 记作P[x]n ? 即 P[x]n?{p?anxn?an?1xn?1? ? ? ? ?a1x?a0|an? ? ? ?? a1? a0?R}? 对于通常的多项式加法、数乘多项式的乘法构成向量空间? 这是因为? 通常的多项式加法、数乘多项式的乘法两种运算显然满足线性运算规律? 故只要验证P[x]n对运算封闭? ?(an?bn)xn? ? ? ? ?(a1?b1)x?(a0?b0)