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[数学]线性代数2-2 矩阵的运算

一、矩阵的加法 二、数与矩阵相乘 三、矩阵与矩阵相乘 四、矩阵的其它运算 五、小结 思考题 思考题解答 1、定义 设有两个 矩阵 那末矩阵 与 的和记作 ,规定为 说明 只有当两个矩阵是同型矩阵时,才能进 行加法运算. 例如 2、 矩阵加法的运算规律 1、定义 2、数乘矩阵的运算规律 矩阵相加与数乘矩阵合起来,统称为矩阵的线性运算. (设 为 矩阵, 为数) 1、定义 并把此乘积记作 设 是一个 矩阵, 是一个 矩阵,那末规定矩阵 与矩阵 的乘积 是一个 矩阵 ,其中 例1 设 例2 故 解 注意 只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵 的行数时,两个矩阵才能相乘. 例如 不存在. 2、矩阵乘法的运算规律 (其中 为数); 若A是 阶矩阵,则 为A的 次幂,即 并且 注意 矩阵不满足交换律,即: 例 设 则 但也有例外,比如设 则有 例3 计算下列乘积: 解 解 =( ) 解 例4 由此归纳出 用数学归纳法证明 当 时,显然成立. 假设 时成立,则 时, 所以对于任意的 都有 定义 把矩阵 的行换成同序数的列得到的 新矩阵,叫做 的转置矩阵,记作 . 例 1、转置矩阵 转置矩阵的运算性质 例5 已知 解法1 解法2 2、方阵的行列式 定义 由 阶方阵 的元素所构成的行列式, 叫做方阵 的行列式,记作 或 运算性质 3、对称阵与伴随矩阵 定义 设 为 阶方阵,如果满足 ,即 那末 称为对称阵. 对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相 等. 说明 例6 设列矩阵 满足 证明 例7 证明任一 阶矩阵 都可表示成对称阵 与反对称阵之和. 证明 所以C为对称矩阵. 所以B为反对称矩阵. 命题得证. 定义 行列式 的各个元素的代数余子式 所 构成的如下矩阵 性质 证明 则 称为矩阵 的伴随矩阵. 4、共轭矩阵 定义 当 为复矩阵时,用 表示 的共轭 复数,记    , 称为 的共轭矩阵. 故 同理可得 运算性质 (设 为复矩阵, 为复数,且运算都是可行的):

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