[数学]经济数学复习第一章函数极限连续.ppt

* ESC 第一章 函数 极限 连续 第一章 函数 极限 连续 函数的定义域 函数的极限 极限的性质与四则运算法则 函数的连续性 洛必达法则 无穷小的等价代换 两个重要极限 ESC 一、函数的定义域 　　例1　求下列函数的定义域． (1)　　　　　　　 ； (2)　　　　　　； (3)　　　　　　　； (4)　　　　　　　　； ESC 　　解　(1)在分式　　　　中，分母不能为零，所以　　　　　，解得　　　，且　　，即定义域为 ． (2)在偶次根式中，被开方式必须大于等于零，所以有　　　　　，解得　　　　　，即 定义域为　　　． 一、函数的定义域 【 ESC 　　(3)在对数式中，真数必须大于零，所以有 　　　　，解得　　　，即定义域为　　　　． 　　(4)反正弦或反余弦中的式子的绝对值必须小于等于1，所以有　　　　　　,解得　　　 ， 即定义域为　　 ． 即定义域为 一、函数的定义域 ESC 极限存在的充分必要条件： 和 是否存在． 设函数 , 试讨论极限 , 例2 二、函数的极限 ESC 解 由图可看出 在 处, 函数 的左、右极限都存在, 但不相等, 故 不存在． 二、函数的极限 ESC 三、极限的性质与四则运算法则 设 , , 则 (1)代数和的极限 存在, 且 . (2)乘积的极限 存在, 且 . 特别地, 有(i) 常数因子 可提到极限符号的前面, 即 . (ii) 若 是正整数, 有 . ESC 设 , , 则 (3) 若 ,商的极限 存在, 且 . 三、极限的性质与四则运算法则 ESC 三、极限的性质与四则运算法则 例3 求下列极限 ESC 四、无穷小的性质 　 性质1.1　有限个无穷小量的代数和仍然是无穷小量． 　　性质1.2　有界变量乘无穷小量仍是无穷小量． 　　性质1.3　常数乘无穷小量仍是无穷小量． 　　性质1.4　无穷小量乘无穷小量仍是无穷小量． ESC 四、无穷小的性质 例4　求　　　　　． 　　解　因为　　　　，所以　　　是有界变量； 根据性质1.2，乘积　　　是无穷小量．即 ． 练习　求　　　　　． ESC 五、无穷小的等价代换 　　定义1.7　 设　、　是同一变化过程中的两个无穷小量， 　　(1)若　　　　　,则称　是比　高阶的无穷小量．也称　是比　低阶的无穷小量． 　　(2)若　　　　(　是不等于零的常数)，则称　与　是同阶无穷小量．若　　，则称 　与　是等价无穷小量．记为 ～ 。 ESC 2.等价无穷小的传递和代换的性质 设在同一变化过程中 （1）若 则 。 （2）若 且 存在 ， 则 五、无穷小的等价代换 ESC 3. 常用的等价无穷小 当 时，有： 五、无穷小的等价代换 ESC 例4 求下列极限 五、无穷小的等价代换 练习已知： ESC 六、两个重要极限 一、第一个重要极限 　　　　　　　　　　　推广公式　　 该极限的特征是（1） 型未定式（2）无穷小的 正弦与自身的比。 二、第二个重要极限 推广形式 ESC 第二个重要极限的特征 （1） 型未定式。（2） 例5　求 ． 解： 六、两个重要极限 ESC 练习 求下列极限　 六、两个重要极限 ESC 七、函数的连续性 　　定义1 　 设函数　　　　在点　的某个邻域内有定义，如果当自变量的改变量 趋于零时，相应函数的改变量　 也趋于零，即 ，　 则称函数 f (x)在点 x 连续． 0 ESC 　　定义2 设函数　　　　在点　的某个邻域内有定义,如果当　　　时,函数 的极限存在，且等于　　在点　处的函数值