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[数学]经济数学复习第一章函数极限连续
* ESC 第一章 函数 极限 连续 第一章 函数 极限 连续 函数的定义域 函数的极限 极限的性质与四则运算法则 函数的连续性 洛必达法则 无穷小的等价代换 两个重要极限 ESC 一、函数的定义域 例1 求下列函数的定义域. (1) ; (2) ; (3) ; (4) ; ESC 解 (1)在分式 中,分母不能为零,所以 ,解得 ,且 ,即定义域为 . (2)在偶次根式中,被开方式必须大于等于零,所以有 ,解得 ,即 定义域为 . 一、函数的定义域 【 ESC (3)在对数式中,真数必须大于零,所以有 ,解得 ,即定义域为 . (4)反正弦或反余弦中的式子的绝对值必须小于等于1,所以有 ,解得 , 即定义域为 . 即定义域为 一、函数的定义域 ESC 极限存在的充分必要条件: 和 是否存在. 设函数 , 试讨论极限 , 例2 二、函数的极限 ESC 解 由图可看出 在 处, 函数 的左、右极限都存在, 但不相等, 故 不存在. 二、函数的极限 ESC 三、极限的性质与四则运算法则 设 , , 则 (1)代数和的极限 存在, 且 . (2)乘积的极限 存在, 且 . 特别地, 有(i) 常数因子 可提到极限符号的前面, 即 . (ii) 若 是正整数, 有 . ESC 设 , , 则 (3) 若 ,商的极限 存在, 且 . 三、极限的性质与四则运算法则 ESC 三、极限的性质与四则运算法则 例3 求下列极限 ESC 四、无穷小的性质 性质1.1 有限个无穷小量的代数和仍然是无穷小量. 性质1.2 有界变量乘无穷小量仍是无穷小量. 性质1.3 常数乘无穷小量仍是无穷小量. 性质1.4 无穷小量乘无穷小量仍是无穷小量. ESC 四、无穷小的性质 例4 求 . 解 因为 ,所以 是有界变量; 根据性质1.2,乘积 是无穷小量.即 . 练习 求 . ESC 五、无穷小的等价代换 定义1.7 设 、 是同一变化过程中的两个无穷小量, (1)若 ,则称 是比 高阶的无穷小量.也称 是比 低阶的无穷小量. (2)若 ( 是不等于零的常数),则称 与 是同阶无穷小量.若 ,则称 与 是等价无穷小量.记为 ~ 。 ESC 2.等价无穷小的传递和代换的性质 设在同一变化过程中 (1)若 则 。 (2)若 且 存在 , 则 五、无穷小的等价代换 ESC 3. 常用的等价无穷小 当 时,有: 五、无穷小的等价代换 ESC 例4 求下列极限 五、无穷小的等价代换 练习已知: ESC 六、两个重要极限 一、第一个重要极限 推广公式 该极限的特征是(1) 型未定式(2)无穷小的 正弦与自身的比。 二、第二个重要极限 推广形式 ESC 第二个重要极限的特征 (1) 型未定式。(2) 例5 求 . 解: 六、两个重要极限 ESC 练习 求下列极限 六、两个重要极限 ESC 七、函数的连续性 定义1 设函数 在点 的某个邻域内有定义,如果当自变量的改变量 趋于零时,相应函数的改变量 也趋于零,即 , 则称函数 f (x)在点 x 连续. 0 ESC 定义2 设函数 在点 的某个邻域内有定义,如果当 时,函数 的极限存在,且等于 在点 处的函数值
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