[数学]置换群.ppt

群论理论 -----置换群 对称性在无机化学中的应用 教学目的和要求: 置换群是一种特殊的变换群。换句话说， 置换群就是有限集上的变换群。由于是定义在有限集上， 故每个置换的表现形式，固有特点都是可揣测的。 §12.2置换群 置换群的理论体系虽然很庞大，但其结果却简单明了，从应用的角度来考虑，本章将主要介绍置换群的有关结论. 置换群 的共轭类 1. 置换的循环与对换分解 介绍过置换的概念, n个符号 的任意置换记为： §12.2置换群 置换群的理论体系虽然很庞大，但其结果却简单明了，从应用的角度来考虑，本章将主要介绍置换群的有关结论. 置换群 的共轭类 1. 置换的循环与对换分解 介绍过置换的概念, n个符号 的任意置换记为： 其中 是1－n中的某一数字. (1)式所示的置换可以用一个更简洁的方式来 表示，这就是用若干个没有公共数字的独立循环之 积来表示，如 其中(5)称为单循环，它代表5变为5. 即5不变. (1 4) 为二循环，它代表1变为4，而4又变为1. (2 3 6) 为 三循环，代表2变为3，3变为6，6又变为2. 一般用记号 代表一个k循环，并称k为循环的长度，两个数字的 循环(即循环长度k=2)又称为对换. 显然，两没有 公共数字的独立循环之间是相互对易的，如 而同一循环中的数字可作轮换而不改变该循环的结 果，如 单循环往往省去不写，如(2)式可写成 任一循环可以分解为若干个含有相同数字对换之 积，如 而一般情况下可以证明： 当两个对换含有相同数字时，这两个对换是不可对易 的，如 由此可见，一个置换可分解为若干个没有相同数字的 独立循环之积，而一个循环又可分解为若干个含有相 同数字的对换之积. 因此，一个置换可分解为若干个 含有相同数字的对换之积. 由于一个循环分解为对换 乘积的形式不是唯一的，如(3)式示, 所以一个置换可 分解为对换之积的形式不是唯一的. 一个置换若能分解 为奇数个对换之积，则称为奇置换. 反之, 一个置换若 能分解为偶数个对换之积，则称为偶置换. 一个置换可 分解为对换乘积的形式虽然不是唯一的，但其奇偶性 却是唯一的. 因为任一置换可分解为形式一定的循 环乘积，而每一循环长度k的奇偶性一定，若循环 长度k为偶数，则该循环可分解为奇数个对换之积, 如 . 反之，若长度k为 奇数，则该循环可分解为偶数个对换之积，如 . 任一置换 和它的逆 具 有相同的奇偶性. 如 显然两个偶(奇)置换之积为偶置换，一个奇置换与 一个偶置换之积为奇置换. 记所有偶置换的全体为 ，则 的数目正好 等于个 . 并且由于偶×偶=偶满足封闭, 单位元 (恒等置换—零个对换) ，另 ，故 构成 的一个子群，且是一个不变子群. 因为对 于任意的 ， 有 显然商群 是二阶群, 它有两个一维表示 与 , 而任何一商群的表示也一定是其大群 的表示，所以 群一定有两个不等价的一维表示, 其中一个是 ，即 中的所有置换都对应于单 位元1，此为恒等表示. 另一个一维表示是 , 在该表示中所有偶置换都对应于1，而所有奇置换 都对应于－1. 2. 的共轭类 现在我们来讨论一下置换群的共轭元素和类. 设有两个置换 与 ，它们都是 的群元素， 其中 则 的共轭元素为： 这一结果表明，欲求置换 的共轭置换 ，只 需对置换 中的上下两行数字同时施行置换 , 例如 对 的上下两行数字同时施行置换 得： 若将置换分解为独立循环之积的形式，上述求 共轭元素的规则又可表述为：欲求置换 的共轭 置换 , 先将 与 写成独立的循环之积的形 式，然后对 的每个循环因子中的数字分别施行 置换. 如在上例中，我们有 对 中的每个数字分别施行置换 得： 与前面所得结果相同. 由上面的讨论可见， 与它的共轭元素 有 相同的循环结