[数学]自动控制原理 线性系统描述.ppt

第二章 线性系统的数学描述 引言 2.1 线性系统的时域数学模型 2.2 传递函数 ——复数域数学模型 2.3 结构图 2.4 信号流图 引言 数学模型的含义 数学模型：用数学的方法和形式表示和描述系统中各变量间的关系。 分析和设计控制系统，首先要建立它的数学模型。 静态模型和动态模型 静态关系或静态特性：系统中各变量随时间变化缓慢，其对时间的变化率（导数）可忽略不计时，这些变量间的关系称为静态关系或静态特性，系统称为静态系统。相应的数学模型称为静态模型。 静态模型中不含有变量对时间的导数。 动态关系或动态特性：系统中变量对时间的变化率不可忽略，这时各变量之间的关系称为动态关系或动态特性，系统称为动态系统，相应的数学模型称为动态模型 。 控制系统中的数学模型绝大部分都指的是动态系统的数学模型。 控制系统中常见的三类数学模型 输入输出描述，或外部描述 用数学方式把系统的输入量和输出量之间的关系表达出来。 微分方程、传递函数、频率特性和差分方程 。 状态空间描述或内部描述 不仅可以描述系统输入、输出之间的关系，而且还可以描述系统的内部特性。 它特别适用于多输入、多输出系统， 也适用于时变系统、非线性系统和随机控制系统 图形化表示：用比较直观的结构图（方块图）和信号流图进行描述。 同一系统的数学模型可以表示为不同的形式，需要根据不同的情况对这些模型进行取舍。 建立数学模型的两种基本方法 机理分析法： 依据系统及元件各变量之间所遵循的物理或化学 规律列写出相应的数学关系式，建立模型。 适用于比较简单的系统 实验辨识法： 人为地对系统施加某种测试信号，记录其输出响应，并用适当的数学模型进行逼近。这种方法也称为系统辨识。 适用于复杂系统 数学模型的概括性 许多表面上完全不同的系统（如机械系统、电气系统、液压系统和经济学系统）有时却可能具有完全相同的数学模型。 数学模型表达了这些系统的共性。 数学模型建立以后，研究系统主要是以数学模型为基础分析并综合系统的各项性能，而不再涉及实际系统的物理性质和具体特点。 由数学模型确定系统性能的主要途径 本章将重点讨论以下几类控制系统模型 微分方程 单位脉冲响应 传递函数 方块图（结构图） 信号流图 2.1 线性系统的时域数学模型 目的：从时间域角度，建立系统输入量（给定值）和系统输出量（被控变量）之间的关系。 两种描述：微分方程描述、单位脉冲响应描述。 线性系统的微分方程描述（机理建模法） SISO线性定常系统的输入输出关系微分方程描述的标准形式 几点说明： 控制系统中输出量和输入量通常都是时间的函数； 很多常见的元件或系统的输出量和输入量之间的关系都可以用一个微分方程表示，方程中含有输出量、输入量及它们各自对时间的导数或积分； 控制系统的微分方程又称为动态方程或运动方程； 微分方程的阶数一般是指方程中最高导数项的阶数，又称为系统的阶数。 列写系统微分方程的步骤 划分不同环节，确定系统输入量和输出量； 写出各环节（元件）的运动方程； 消去中间变量，求取只含有系统输入和输出变量及其各阶导数的方程； 化为标准形式。 例2-1：图2-1是由电阻R、电感L和电容C组成的无源网络，试列写以 为输入量，以 为输出量的网络微分方程。 解 设回路电流为i(t)，由基尔霍夫电压定律可写出回路方程为 消去中间变量i(t)，可得描述该无源网络输入输出关系的微分方程 (2-2)式也可以写为 其中： ， 。 这是一个典型的二阶线性常系数微分方程，对应的系统称为二阶线性定常系统。 例2-2： 图2-2是一个由理想运算放大器组成的电容负反馈电路 。电压 和 分别表示输入量和输出量，试确定这个电路的微分方程式。 解 理想运算放大器正、反相输入端电位相同，且输入电流为零。根据基尔霍夫电流定律有 整理后得 或者为 式中T=RC为时间常数。方程(2-4)和(2-5)就是该系统的微分方程，这是一个一阶系统。 例2-3: 图2-3表示一个含有弹簧、运动部件、阻尼器的机械位移装置。外力 f(t) 是系统的输入量，位移 y(t) 是系统的输出量。试确定系统的微分方程。 解 根据牛顿运动定律，系统的运动方程为 或写成 思考：比较表达式(2-3)和(2-7)可以得到什么结论 例2-4：图2-4表示一个单摆系统，输入量为零（不加外力），输出量为摆幅θ(t)。试建立系统的的运动方程。 解 对于