[数学]随机过程第二章.pdf

随机过程的分类与举例 补充知识 • 随机变量的特征函数 • 特征函数的性质 • 常见随机变量的特征函数 随机过程的有限维特征函数族 随机过程的分类与举例 随机过程—— 西安电子科技大学数学系冯海林 补充知识— 随机变量的特征函数 定义 设随机变量X 的分布函数F(x),则称 +∞ ϕ(u) E[eju X ] ∫−∞ ej uxdF (x ) −∞u +∞ 为随机变量X 的特征函数. 其中u为实参变量, ej uX 为复随机变量 定义中的积分称为Stieltjes积分，它有如下性质： 随机过程—— 西安电子科技大学数学系冯海林 ⑴当g(x)为跳跃函数,且在x (i=1,2,…)具有跃度p 时有 i i +∞ f (x )dg (x ) ∑f (x )p ∫−∞ i i i ⑵当g(x)存在导数g ´(x)时,有 +∞ +∞ f x dg x f x g ′x dx ∫−∞ ( ) ( ) ∫−∞ ( ) ( ) 利用Stieltjes积分可以统一离散型与连续型随机变量 的数学期望定义. 随机过程—— 西安电子科技大学数学系冯海林 特征函数的几点说明 (1) 特征函数总是存在的. jux jux 对任意实数u,有|e |=1.故E[e ]总存在. 随机过程—— 西安电子科技大学数学系冯海林 (2)特征函数的性质 ⅰ ϕ（u ）≤ϕ（0） 1 ⅱϕ(u) ϕ(=−u) ⅲ 若Y=aX+b ,a,b为常数,则 ϕ (u) ejbuϕ (au) Y X ⅳ ϕ(u)在（−∞+，∞）上一致连续. 随机过程—— 西安电子科技大学数学系冯海林 ⅴ若X与Y相互独立,Z=X+Y,则 ϕ (u) ϕ (u)ϕ (u) Z X Y (可推广到n个相互独立随机变量) 随机过程—— 西安电子科技大学数学系冯海林 ⅵ ϕ(u) 是非负定的. 即对任意的n,任意复数Z ,任意实数u k k (k=1,2,…,n),有 n n ∑∑ϕ(u −u )z z k ≥0 l k l l 1 k 1 随机过程—— 西安电子科技大学数学系冯海林 n ⅶ 设随机变量X 的n阶原点矩(即E[X ])存在, 则 ϕ(u)存在k(k ≤