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[数学]高中数学经典例题集
高中数学经典例题集
第一部分
(一道解析几何题)
(本题15分)已知曲线C是到点和到直线
距离相等的点的轨迹,l是过点Q(-1,0)的直线,
M是C上(不在l上)的动点;A、B在l上,
轴(如图)。
(Ⅰ)为常数。
(Ⅰ)解:设为上的点,由题设得:
.化简,得曲线的方程为.
(Ⅱ)解法一:设,直线,则
,从而.
在中,因为
, .
所以 . ,
.
当时,,从而所求直线方程为.
解法二:设,直线,则,从而
. 过垂直于的直线.
因为,所以,
.
当时,,从而所求直线方程为.
(不等式经典试题)
例1 若,证明( 且).
分析1 用作差法来证明.需分为和两种情况,去掉绝对值符号,然后比较法证明.
解法1 (1)当时,
因为 ,
所以
.
(2)当时,
因为
所以
.
综合(1)(2)知.
分析2 直接作差,然后用对数的性质来去绝对值符号.
解法2 作差比较法.
因为
,
所以.
说明:解法一用分类相当于增设了已知条件,便于在变形中脱去绝对值符号;解法二用对数性质(换底公式)也能达到同样的目的,且不必分而治之,其解法自然简捷、明快.
典型例题二
例2 设,求证:
分析:发现作差后变形、判断符号较为困难.考虑到两边都是正数,可以作商,判断比值与1的大小关系,从而证明不等式.
证明:
∵,∴
∴. ∴
又∵,
∴.
说明:本题考查不等式的证明方法——比较法(作商比较法).作商比较法证明不等式的步骤是:判断符号、作商、变形、判断与1的大小.
典型例题三
例3 对于任意实数、,求证(当且仅当时取等号)
分析 这个题若使用比较法来证明,将会很麻烦,因为,所要证明的不等式中有,展开后很复杂。若使用综合法,从重要不等式:出发,再恰当地利用不等式的有关性质及“配方”的技巧可得到证明。
证明:∵ (当且仅当时取等号)
两边同加,
即: (1)
又:∵ (当且仅当时取等号)
两边同加
∴
∴ (2)
由(1)和(2)可得(当且仅当时取等号).
说明:此题参考用综合法证明不等式.综合法证明不等式主要是应用均值不等式来证明,要注意均值不等式的变形应用,一般式子中出现有平方和乘积形式后可以考虑用综合法来解.
典型例题四
例4 已知、、,,求证
分析 显然这个题用比较法是不易证出的。若把通分,则会把不等式变得较复杂而不易得到证明.由于右边是一个常数,故可考虑把左边的式子变为具有“倒数”特征的形式,比如,再利用“均值定理”就有可能找到正确的证明途径,这也常称为“凑倒数”的技巧.
证明:∵
∴
∵,同理:,。
∴
说明:此题考查了变形应用综合法证明不等式.题目中用到了“凑倒数”,这种技巧在很多不等式证明中都可应用,但有时要首先对代数式进行适当变形,以期达到可以“凑倒数”的目的.
典型例题五
例5 已知,求证:>0.
分析:此题直接入手不容易,考虑用分析法来证明,由于分析法的过程可以用综合法来书写,所以此题用两种方法来书写证明过程.
证明一:(分析法书写过程)
为了证明>0
只需要证明>
∵
∴
∴>0
∴>成立
∴>0成立
证明二:(综合法书写过程)
∵ ∴
∴> >0
∴>成立
∴>0成立
说明:学会分析法入手,综合法书写证明过程,但有时这两种方法经常混在一起应用,混合应用时,应用语言叙述清楚.
典型例题六
例6 若,且,求证:
[来源:学科网]
分析 这个不等式从形式上不易看出其规律性,与我们掌握的定理和重要的结论也没有什么直接的联系,所以可以采用分析的方法来寻找证明途径.但用“分析”法证不等式,要有严格的格式,即每一步推出的都是上一步的充分条件,直到推出的条件是明显成立的(已知条件或某些定理等).
证明:为要证
只需证,
即证,
也就是,
即证,
即证,
∵,
∴,故即有,
又 由可得成立,
∴ 所求不等式成立.
说明:此题考查了用分析法证明不等式.在题目中分析法和综合法是综合运用的,要注意在书写时,分析法的书写过程应该是:“欲证……需证……”,综合法的书写过程是:“因为(∵)……所以(∴)……”,即使在一个题目中是边分析边说明也应该注意不要弄混.
典型例题七
例7 若,求证.
分析:本题结论的反面比原结论更具体、更简、宜用反证法.
证法一:假设,则,
而,故.
∴.从而,
∴.[来源:Zxxk.Com]
∴.
∴.
这与假设矛盾,故.
证法二:假设,则,
故,即,即,
这不可能.从而.
证法三:假设
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