[文学]8-5 第二型曲面积分.ppt

指定了侧的曲面叫有向曲面, 法向量指向上侧时取正，指向下侧时取负． 单位法向量的方向余弦是： 曲面 在点　　　　　处的法向量为 例如 第二型曲面积分直接化成二重积分 关键是正确理解曲面S的面积元dS在坐标平面上的有向投影． * 曲面的分类: 1.双侧曲面; 2.单侧曲面. 典型双侧曲面 8-5 第二型曲面积分 1. 双侧曲面 动点在双侧曲面上连续移动(不跨越曲面的边界)并返回到起始点时,其法向量的指向不变. 曲面分上侧和下侧 曲面分内侧和外侧 ? 曲面分类 双侧曲面 单侧曲面 曲面分左侧和右侧 莫比乌斯带 典型单侧曲面: 莫比乌斯带 其方向用法向量指向 方向余弦 0 为前侧 0 为后侧 封闭曲面 0 为右侧 0 为左侧 0 为上侧 0 为下侧 外侧 内侧 ? 设 ? 为有向曲面, 侧的规定 表示 : 其面元 在 xOy 面上的投影记为 的面积为 则规定 类似可规定 实例: 流向曲面一侧的流量. 2. 第二型曲面积分的概念 S是速度场中的一片有向曲面, 函数 ) , , ( ), , , ( ), , , ( z y x R z y x Q z y x P 都在S上连续 , 求在单位 时间内流向S指定侧的流 体的质量 F . (2) 设稳定流动的不可压缩流体 (假定密度为1) 的速度场由 k z y x R j z y x Q i z y x P z y x v r r r r ) , , ( ) , , ( ) , , ( ) , , ( + + = 给出. 1. 分割 则该点流速为 法向量为 . 把曲面S分成 n 小块 ( ), 第 i 小块曲面的面积 同时也代表 在 上任取一点 2. 求和 通过S流向指定侧的流量 该点处曲面S的单位法向量 3.取极限 . 得到流量 m 的精确值 , 则 第二型曲面积分的定义 设S是一个分片光滑的双侧曲面, 记选定一侧的单位法向量为 假设在S上给定了一个向量函数 将S分割成n个不相重叠的小曲面片 在　　上任取一点 作和式 令　是　　中直径的最大者　　 在S上选定了一侧, 若和式对Ｓ的任意一种分割及中间点 的任意的选取，当　　　　时总有极限， 则称此极限为向量函数　　　　　　　在Ｓ所指定一侧上的第二型曲面积分，也称为对坐标的曲面积分 或 其中 与 为同一个曲面的两个相反的定向. (2)若积分 与 存在, 则 其中　　　　为任意常数． 第二型曲面积分的性质 其中　由互不重叠的两个曲面　　　　组成． 3. 第二型曲面积分的计算 第二型曲面积分可表示成第一型曲面积分的形式 和坐标的形式 为dS 在 平面上的有向投影面积. 若单位法向量 　的方向余弦为 (上正下负) 平面上的有向投影面积. 平面上的有向投影面积. (前正后负) (右正左负) 称为P 在有向曲面S上对坐标 y, z 的曲面积分; 称为Q 在有向曲面S上对坐标 z, x 的曲面积分; 称为R 在有向曲面S上对坐标 x, y 的曲面积分; 若以 -S 表示曲面 S 的另一侧，则由定义可得 注意:对坐标的曲面积分,必须注意曲面所取的侧. 取上侧, 是 S 上的连续函数, 则 设光滑曲面 注： 积分 的计算，必须先将曲面 表示成： 再代公式计算 积分 的计算方法： 说明: 如果积分曲面 S 取下侧, 则 若曲面 S 是母线平行于 z 轴的柱面（垂直于 xy 坐 标面） 则 (前正后负) 将曲面 S 表示为 若曲面 S 是母线平行于 x 轴的柱面（垂直于 yoz 坐 标面） 则 积分 的计算方法： (右正左负) 若曲面 S 是母线平行于 y 轴的柱面（垂直于 zox 坐 标面） 则 积分 的计算方法： 将曲面 S 表示为 注意:对坐标的曲面积分,必须注意曲面所取的侧. 概括为： 代： 将曲面的方程表示为二元显函数，然后代入 被积函数，将其化成二元函数 投： 将积分曲面投影到与有向面积元素（如dxdy） 中两个变量同名的坐标面上（如xoy 面） 定号： 由曲面的方向，即曲面的侧确定二重积分 的正负号 一代、二投、三定号 注意 积分曲面的方程必须表示为单值显函数 否则分片计算，结果相加 ②确定正负号的原则： 曲面取上侧、前侧、右侧时为正 曲面取下侧、后侧、左侧时为负 第二型曲面积分的性质（坐标形式） ⑴ ⑵ 若曲面 S 由两两无公共内点的曲面 Si i = 1, 2, . . . , n 所组成，则 由第二型曲面积分的定义，流体以速度 从曲面 S 的