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第一节　初等模型 　　解决实际问题，应尽可能用简单而且初等的方法建模，方法简单而初等，容易被更多的人理解接受和采用，就更有价值。下面举的例子，虽然不是很复杂，但告诉我们，只要仔细地观察生活，你就会发现，在我们周围处处存在着可用数学解决的问题。 　　一、代数法建模 　　[例8.1.1] 椅子问题　　在我们周围的日常生活中，到处都会遇到数学问题，就看我们是否留心观察和善于联想，比如有这样一个问题（你或许认为这个问题与数学毫不相干）：　　4条腿长度相等的椅子放在起伏不平的地面上，4条腿能否一定同时着地？　　模型假设：　　（1）椅子的四条腿一样长，4脚的连线是正方形。　　（2）地面是数学上的光滑曲面， 即沿任意方向，切面能连续移动。　　建模的关键在于恰当地寻找表示椅子位置的变量，并把要证明的“着地”这个结论归结为某个简单的数学关系。　　假定椅子中心不动， 4条腿着地点视为几何学上的点，用A、B、C、D表示， 将AC、BD连线看作x轴、y轴，建立如图8.1.1所示的坐标系。引入坐标系后，将几何问题代数化，即用代数方法去研究这个几何问题。 图8.1.1 　　人们习惯于，当一次放不平稳椅子时，总是转动一下椅子（这里假定椅子中心不动），因而将转动椅子联想到坐标轴的旋转。　　设为对角线AC转动后与初始位置x轴夹角， 如果定义距离为椅脚到地面的竖直长度。则“着地”就是椅脚与地面的距离等于零，由于椅子位于不同位置，椅脚与地面距离不同，因而这个距离为的函数，设　　──A、C两脚与地面距离之和；──B、D两脚与地面距离之和。　　因地面光滑，显然，连续，而椅子在任何位置总有三只脚可同时“着地”，即对任意的，，总有一个为零，有。不失一般性，设 于是椅子问题抽象成如下数学问题：　　假设：，是的连续函数， 且对任意，。　　求证：存在，使得。　　证明：令，则　　将椅子转动，对角线互换，由和，有，，从而。 而在上连续，由介值定理，必存在使得。即。　　又因对任意，从而。即在方向上椅子四条腿能同时“着地”。　　椅子问题的解决是学习运用类比法的一个很好实例，从中可受到一定启发，学习到一些建模技巧：转动椅子与坐标轴旋转联系起来；用一元变量表示转动位置；巧妙地将“距离”用的函数表示，而且只设两个函数，（注意椅子有4只脚！）； 由三点定一平面得到；利用转动并采用了介值定理使得问题解决得非常巧妙而简单。　　[例8.1.2] 雨中行走问题　　人在雨中沿直线从一处向另一处行走时，当雨的速度已知时，问人行走的速度多大才能使淋雨量最少？ 　　为使问题简单，假设将人视为长方柱体，其前、侧、顶的面积之比为1:b:c。选择适当的直角坐标系，使人行走速度为（u，0，0），设雨的速度为 人行走的距离为L，则行走的时间为。　　在上述假定下，由高等数学曲面积分中的通量概念，显然单位时间内的淋雨量正比于　　 　　从而总淋雨量正比于 　　　　　　　　　　　　　其中。于是，问题抽象成如下数学问题：　　在已知条件下，求的最小值。　　由于这个模型的特殊性，因此用图解法求解方便些，分下列几种情况讨论：　　(1)时，　　　 　 　当时， ～u的图形如图8.1.2所示， 由图可知，时，取最小值为。 图8.1.2 　　当时，～u的图形如图8.1.3所示，由图可知，当u尽可能大时，才尽可能小（接近于 L）。 图8.1.3 　　(2)时，　　　 　　　　不论为何值，都无最小值。即只有当u尽可能大时，才尽可能小。～u的图形如图8.1.4所示。 图8.1.4 　　(3)及，分别为(l)和(2)的特例。　　综上所述，当时，只要就可使前后不淋雨，从而总淋雨量最少；其它情况， 都应使u尽可能大，才能使淋雨量尽可能小，显然这符合人们的生活常识。 　　二、模拟方法建模 　　有的模型，虽然已经了解其结构及性质，但其数量描述及求解都相当麻烦。如果有另一种系统，结构和性质与其相同，而且构造出的模型也类似，就可以把后一种模型看成是原来模型的模拟，对后一个模型去进行试验，并求得其解。当然，一个好的模拟方法的寻求有时也非轻而易举的事，照样也要付出一定努力。　　[例8.1.3] 七桥问题　　图论中最早的问题之一就是所谓的“哥尼斯堡七桥问题”。此问题在1736年被Euler解决之前，一直使这个普鲁士城镇中的居民很感兴趣。　　18世纪，普鲁士城的哥尼斯堡镇上有一个小岛，岛旁流过一条河的两条支流，7座桥跨在两条支流上。（见图8.1.5） 图8.1.5 　　假设：A表示岛， B表示河的左岸， C表示右岸，D为两支流间地区，a、b、c、d、e、f、g分别表示7座桥。　　问题：　　 （1）一个人能否经过每座桥恰好一次？　　 （2）能否恰好经过每座桥