[法学]《 数学归纳法的应用》.ppt

数学归纳法应用举例 1、观察、归纳、猜想、证明 2、证明恒等式问题 3、证明不等式问题 4、证平面几何问题 5、证明整除性问题 证明　①当n＝1时，f(1)＝(2×1＋7)×3＋9＝36，能被36整除． ②假设n＝k时，f(k)能被36整除，即(2k＋7)·3k＋9能被36整除，则当n＝k＋1时， f(k＋1)＝[2(k＋1)＋7]·3k＋1＋9 ＝3[(2k＋7)·3k＋9]＋18(3k－1－1)， 由归纳假设3[(2k＋7)·3k＋9]能被36整除， 而3k－1－1是偶数，所以18(3k－1－1)能被36整除， 所以f(k＋1)能被36整除． 由①②可知，对任意的n∈N＋，f(n)能被36整除． 【变式2】 用数学归纳法证明62n－1＋1(n∈N*)能被7整除． 证明　(1)当n＝1时，62－1＋1＝7能被7整除． (2)假设当n＝k(k∈N*，且k≥1)时，62k－1＋1能被7整除． 那么当n＝k＋1时，62(k＋1)－1＋1＝62k－1＋2＋1 ＝36(62k－1＋1)－35. ∵62k－1＋1能被7整除，35也能被7整除， ∴当n＝k＋1时，62(k＋1)－1＋1能被7整除． 由(1)，(2)知命题成立． * 一、复习回顾：什么是数学归纳法？ 对于由不完全归纳法得到的某些与自然数有关自然数的数学命题我们常采用下面的方法来证明它们的正确性： （1）证明当n取第一个值n0（例如n0＝1,2,3…） 时命题成立；【归纳奠基】 （2）假设当n＝k（k∈N* ，k≥ n0）时命题成立 证明当n＝k＋1时命题也成立. 这种证明方法叫做 数学归纳法． 数学归纳法 【归纳递推】 （1）证明当n取第一个值n0（如 n0＝1或2等）时结论正确 　 数学归纳法是一种证明与正整数有关的数学命题的重要方法.主要有两个步骤一个结论: 【归纳奠基】． （2）假设n＝k时结论正确，证明n＝k＋1时结论也正确 （3）由（1）,（2）得出结论． 【归纳递推】． 找准起点 奠基要稳 用上假设 递推才真 写明结论 才算完整 （1） 第一步，是否可省略？ 不可以省略． （2）第二步，从n＝k（k≥n0）时命题成立的假设出发，推证 n＝k＋1 时命题也成立．既然是假设，为什么还要把它当成条件呢？ 这一步是在第一步的正确性的基础上，证明传递性． 想一想 例1:已知数列 计算 ,根据计算的结果,猜想 的表达式,并用数学归纳法进行证明. 一、观察、归纳、猜想、证明： 例2:是否存在常数a、b,使得等式: 对一切正整数n都成立,并证明你的结论. 点拨:对这种类型的题目,一般先利用n的特殊值,探求出待定系数,然后用数学归纳法证明它对一切正整数n都成立. 解:令n=1,2,并整理得 以下用数学归纳法证明: (2)假设当n=k时结论正确,即: 则当n=k+1时, 故当n=k+1时,结论也正确. 根据(1)、(2)知,对一切正整数n,结论正确. (1)当n=1时,由上面解法知结论正确. 例3:比较 2n 与 n2 (n∈N*)的大小 注：先猜想，再证明 解：当n=1时，2n=2,n2=1, 2nn2 当n=2时，2n=4,n2=4, 2n=n2 当n=3时，2n=8,n2=9, 2nn2 当n=4时，2n=16,n2=16, 2n=n2 当n=5时，2n=32,n2=25, 2nn2 猜想当n≥5时，2nn2 二、证不等式问题： 例4．求证：当n≥5时，2nn2， 证明：（1）当n=5时，25=32，52=25，因此2552，即n=5时，结论正确； （2）假设当n=k(k≥5)时，这个命题是正确的，即2kk2，那么n=k＋1 这就是说，当n=k+1时，命题也是正确的. 由（1）和（2）可以断定，这个命题对于所有大于或等于5的正整数n都正确。 三、证几何问题： 例:平面内有n条直线,其中任何两条不平行,任何三条不过同一点,证明交点的个数f(n)=n(n-1)/2. 说明:用数学归纳法证明几何问题,重难点是处理好当n=k+1时利用假设结合几何知识证明命题成立. （2）假设当n＝k(k∈N＋)时，命题成立，即 ，当n＝k＋1时，当k＋1条直线与前面k条直线有k个不同交点，即它被前面k条直线截成k＋1段，其中每一段都把它所在的原区域一分为二，也即使原区域数目增加k＋1． 例2：平面上有n条直线，其中任意两条都相交，任意三条不共点，这些直线把平面分成多少个区域？ 证明你的结论． 解：这样的n条直线把平面分成的区域数目为