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[物理]5-1及5-2约束与虚位移_795805734
几何力学 牛顿力学基础,几何法(平行四边形) 力是改变运动的唯一原因 用力取代约束 分析力学 变分原理为基础 约束和力都能改变运动 约束优先考虑,考虑约束允许的范围内的可能运动,从可能运动中找出真实运动(虚位移原理) 微分、变分和等时变分 虚位移的基本概念 元功和虚功 理想约束 1、给定某时刻,虚位移是满足约束,可能位移的等时变分 2、真实位移,质点系真实发生的位移,位置的微分 3、在定常约束情况下,实位移是无数虚位移之中的一个 理想约束 理想约束:约束反力在质系任意虚位移上所做的虚功恒等于零的约束。 无滑动的滚动 N F C 不可伸长的绳子连接的质点 A B 光滑曲面约束 虚位移只满足约束方程,实位移除满足约束方程外,还满足动力学方程。 在定常约束情况下,实位移是无数虚位移中的一种,而在非定常约束情况下,实位移不一定是无数虚位移中的一种。 非自由质点的虚位移垂直于约束曲面在该点的法线,即虚位移总是位于约束曲面的切平面 -虚位移的实际求法 几何法:仿照运动学中的速度分析方法 解析法:对约束方程进行变分,类似于微分 真实位移 虚位移 4、等时变分就是假想约束“凝固”不动的微分运算。 5、分析力学中考虑无穷小虚位移,只需研究虚位移的方向,以及虚位移之间的比例关系 6、虚位移的求法分为解析法和几何法 5.1 约束及其分类 第1节 约束及其分类 约束:对质点系运动预加的强制性限制条件,其数学表达式为 可简记为 约束的形式和机理是千差万别的 由刚性杆连接的两个质点:刚性约束 圆盘在粗糙平面上纯滚动:摩擦约束 导弹运动方向瞄准目标: 控制约束 第1节 约束及其分类 单面约束和双面约束 几何约束和微分约束 完整约束和非完整约束 定常约束和非定常约束 理想约束和非理想约束 第1节 约束及其分类 单面约束和双面约束 如约束表达式为等式,则称为双面约束或等式约束,约束表达式又称约束方程;否则称为单面约束或不等式约束 对于单面约束,质点的运动可以分阶段考虑(无约束阶段和双面约束阶段) 刚性杆 柔索 研究质点A 返回 第1节 约束及其分类 几何约束和微分约束 如约束表达式中不包含速度,则称其为几何约束;否则称为微分约束 A 研究A和B组成的质点系 研究纯滚动圆轮 返回 第1节 约束及其分类 完整约束和非完整约束 几何约束、可积分为几何约束的微分约束,称为完整约束,不可积微分约束称为非完整约束 A M T 研究导弹 不可积 返回 第1节 约束及其分类 定常约束和非定常约束 如约束表达式中不显含时间,则称为定常约束;否则称为非定常约束 研究质点A 例: 设一个质点被限制在某个平面内运动。 若取z轴垂直于该平面,则约束方程为 z = const 这是定常、双面、几何约束。 第1节 约束及其分类 例:设质点被限制在某个球心位于坐标原点的球面上运动,球半径随时间变化 。 约束 是非定常、双面、几何约束。 第1节 约束及其分类 例:设两个质点用长为 l 的绳相连。 则约束 是单面、定常、几何约束。 第1节 约束及其分类 5.2 虚位移 变分的思想,是对可能运动进行比较找出实际运动的思想 对函数y(x),当自变量x有微小的变化dx时,函数值有相应的变化dy。 对函数y(x),有一临近的函数 ,两函数在x处的差值为 ?y。 变分与微分的运算规则基本相同 ?(变分)与d(微分)的比较 第2节 虚位移 变量的无穷小增量称为微分,函数的无穷小增量称为变分。 微 分 等时变分 等时变分运算与微分运算类似,但?t = 0。 第2节 虚位移 等时变分 返回 可能位置 :在给定时刻t系统各点矢径ri都满足系统的几何约束,则称系统处于可能位置(有无穷多个)。 约束方程 (即平面运动方程) 质点M 沿平面运动 M 的可能位置: 平面上任何位置 第2节 虚位移 可能位移 :在t+dt时刻,系统的可能位置为ri+Δri (无穷多个) ,则Δri称为系统从可能位置ri出发在Δt内的可能位移(无穷多个)。 可能位移 第2节 虚位移 真实位移:在无穷多的可能位移中,满足动力学方程(牛顿第二定律,右端不含约束力)及其初始条件的,是唯一的。用dr表示。 按牛顿力学观点,真实位移是动力学方程(牛顿第二定律,右端包含约束力)在给定初始条件下的唯一解 真实位移 可能位移 第2节 虚位移 可能位移——仅满足约束条件的位移。 真实位移——质系实际发生的位移。同时要满足动力学方程(牛顿定律)、初始条件和约束条件。 下面从约束的角度,可能位移和真实位移有什么特点? t 时
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