[物理]D10_1二重积分概念.ppt

被积函数相同, 且非负, 思考与练习 解: 由它们的积分域范围可知 1. 比较下列积分值的大小关系: 2. 设D 是第二象限的一个有界闭域 , 且 0 y 1, 则 的大小顺序为 ( ) 提示: 因 0 y 1, 故 故在D上有 提示: 4. 证明: 其中D 为 解: 利用题中 x , y 位置的对称性, 有 又 D 的面积为 1 , 故结论成立 . 练 习 题 练习题答案 第二节 作业:练习册 * * * 目录 上页 下页 返回 结束 第十章 计划12学时 具体分配如下： §1: 2学时； §2： 3学时； §3： 3学时； §4： 2学时； 习题课： 2学时. 第十章 本章是多元函数积分学的内容. 积分学中， 重 积 分 我们知道定积分是某种和式的极限. 如果把定积分的积分区间推广成区域（平面或 “大化小, 常代变, 近似和, 求极限” 想的. 在一元函数 空间）、 数推广成多元函数， 及曲面积分的概念. 无论是上述哪一种积分， 是以 都 为基本思 便得到重积分、曲线积分以 把被积函数的一元函 曲线段或曲面， 一元函数积分学 多元函数积分学 重积分 曲线积分 曲面积分 三重积分 二重积分 三、二重积分的性质 第一节 一、引例 二、二重积分的定义与可积性 二重积分的概念与性质 第十章 一、引例 1.曲顶柱体的体积 给定柱体: 底： xOy 面上的闭区域 D 顶: 连续曲面 侧面：以 D 的边界为准线 , 母线平行于 z 轴的柱面 求曲顶柱体的体积. 由于柱体的顶是曲面， 所以称它为曲顶柱体. 平顶柱体体积= 特点：平顶 曲顶柱体体积 特点：曲顶 若为平顶柱体: 若为曲顶柱体: 底面积×高 = ？ 采用与计算曲面梯形面积相类似的方法. “大化小, 常代变, 即： 近似和, 求 极限” 解法: 1)“大化小” 用任意曲线网分D为 n 个小闭区域 以它们为底把曲顶柱体分为 n 个 2)“常代变” 在每个 3)“近似和” ，则 中任取一点 小曲顶柱体 步骤： 小闭区域的面积 也记作 4)“取极限” 令 间距离的最大者. 一个闭区域的直径是指区域上任意两点 2. 平面薄片的质量 有一个平面薄片, 在 xOy 平面上占有区域 D , 计算该薄片的质量 M . 度为 设D 的面积为? , 则 若 是变量 , 仍可用 其面密 “大化小, 常代变,近似和, 求极限” 解决. 1)“大化小” 用任意曲线网分D 为 n 个小区域 相应把薄片也分为 小块 . 2)“常代变” 中任取一点 3)“近似和” 4)“取极限” 则第 i 小块的质量 小块的面积 也表示第 两个问题的共性： (1) 解决问题的步骤相同 (2) 所求量的结构式相同 “大化小, 常代变, 近似和,取极限” 曲顶柱体体积: 平面薄片的质量: 二、二重积分的定义及可积性 定义: 是有界闭区域 D上的有界函数 , 将 闭区域 D 任意分成 n 个小闭区域 个小闭区域， 也表示它的面积. ，并作和 ，作乘积 . 如果当各 小闭区域的直径中的最大者 趋于零时， 这和的极 限总存在， 则称函数 在闭区域D上可积， 称此 在D上的二重积分， 积分和 积分区域 被积函数 积分表达式 记作 即 面积元素 极限为 在D上可积, 元素d?也常记作 二重积分记作 这时 分区域 D , 因此面积 可用平行于坐标轴的直线来划 对二重积分定义的说明： 任意的. 极限必存在，即二重积分必存在. 如果 二重积分的几何意义 当被积函数大于零时， 当被积函数小于零时， 引例1中曲顶柱体体积: 引例2中平面薄板的质量: 故二重积分是柱体体积的代数和. 负值， 二重积分是柱体的体积． 二重积分是柱体的体积的 二重积分存在定理: 若函数 定理2. (证明略) 定理1. 在D上可积. 限个点或有限条光滑曲线外都连续 , 积. 在有界闭区域 D上连续, 则 若有界函数 在有界闭区域 D 上除去有 例如, 在 D : 上二重积分存在 ; 在D 上 二重积分不存在 . 三、二重积分的性质 ( k 为常数) ? 为D 的面积, 则 （与定积分有类似的性质） , 对区域具有可加性) 特别, 由于 则 5. 若在D上 6. 设 D 的面积为? , 则有 （二重积分估值的不等式） 7.(二重积分的中值定理) 证: 由性质6 可知, 由连续函数介值定理, 至少有一点 在闭区域D上 ? 为D 的面积 , 则至少存在一点 使 使 连续, 因此 例1. 比较下列积分的大小: 其中 解: 积分域 D 的边界为圆周 它在与 x 轴的交点 (1,0) 处与直线 从而 而域 D 位于直线的上