[物理]拉氏变换及反变换补充.ppt

补充内容：拉普拉斯变换及反变换 拉氏变换已考虑了初始条件 三、拉氏变换的物理意义 拉氏变换是将时间函数f(t)变换为复变函数F(s)，或作相反变换。 时域f(t)变量t是实数，复频域F(s)变量s是复数。变量s又称“复频率”。 拉氏变换建立了时域与复频域(s域）之间的联系。 拉氏变换收敛域举例 原始值为r(0-)及r/(0-)，原始值为e(0-)=0，求r(t)的象函数。 解：设r(t)，e(t)均可进行拉氏变换即有E(S)=L[e(t)] , R(S)=L[r(t)] 对方程两端进行拉氏变换，应用线性组合与微分定理可得 [S2R(s)-Sr(0-)-r/(0-)]+a1[SR(s)-r(0-)]+a0R(s)=b1[SE(s)-e(0-)]+b0E(s) 整理合并得 （S2+a1S+a0）R(S)-(S+a1)r(0-)-r/(0-)=(Sb1+b0)E(s)-b1×0 表2-1 拉普拉斯变换的基本性质 表2-2 拉普拉斯变换表 练习1: 练习2: 练习3: 练习4: 2.5 用拉氏变换法求解常微分方程 一、 用拉氏变换求解微分方程 用拉氏变换求解微分方程 例1: 2.4 拉普拉斯反变换 一、由象函数求原函数 （2）经数学处理后查拉普拉斯变换表 f(t)=L-1[F(s)] （1）利用公式 较麻烦 象函数的一般形式： 二、将F(s)进行部分分式展开（partial-fraction expansion） 等式两边同乘(s-s1) =0 ki也可用分解定理求 等式两边同乘（s-si） 应用洛比达法则求极限 例1 例2 用分解定理 例3 m n，用长除法，得 k1 , k2也是一对共轭复数。 假设只有两个根 ，可据前面介绍的两种方法 设 求出 k1 , k2。 例 法一： 部分分式展开，求系数。 法二： 将F2(s)改写为(s＋? )2 + ?2 等式两边乘 例1 例2 等式两边乘 4.一般多重根情况 机械工程控制基础 拉普拉斯变换及反变换 2.1 拉普拉斯变换 （ Laplace ） 2.2 常用函数的拉普拉斯变换 2.3 拉普拉斯变换的基本性质 2.4 拉普拉斯反变换 2.1 拉普拉斯变换 拉氏变换是求解常系数线性微分方程的工具。 把线性时不变系统的时域模型简便地进行变换，经求解再还原为时间函数。 一、拉氏变换（Laplace transformation）的定义 （Laplace transformation） （inverse Laplace transformation） f(t)和F(s)是一对拉普拉斯变换对（Laplace pairs） 。 记号 ? [f(t)]表示取拉氏变换。 ? -1 [F(s)]表示取拉氏反变换。 f(t) ，t ? [0,?)称为原函数（original function），属时 域（time domain）。原函数 f(t ) 用小写字母表示，如 i(t )， u(t )。 F(s) 称为象函数（transform function），属复频域 （complex frequency domain） 。象函数F(s) 用大写字母 表示 ，如 I(s)，U(s)。 称为复频 率 （complex frequency）。 积分下限从0? 开始，称为0? 拉氏变换 。 积分下限从0+ 开始，称为0+ 拉氏变换 。 当f(t)含有冲激函数项时，此项 ? 0 0+ 拉氏变换和0?拉氏变换的区别： 为了把0-? 0+时冲激函数的作用考虑到变换中，以下拉氏变 换定义式中积分下限从 0- 开始。 （1）求解方程得到简化。 拉氏变换将“微分”变换成“乘法”，“积分”变换成“除法”。即将微分方程变成代数方程。 （2）初始条件自动包含在 变换式里。 二、拉氏变换的优点 应用拉氏变换： 终值 初值 看出：将?频率变换为复频率s,且?只能描述振荡的重复频率，而s不仅能给出重复频率，还给出振荡幅度的增长速率或衰减速率。 四、拉氏变换存在条件 不同的 f (t)，?0的值不同， 称 ?0为复平面s内的收敛横坐标。 ?0 ? j? 0 收敛坐标 收敛轴 收敛区 由于单边拉氏变换的收敛问题较为简单，在下面的讨论 中一般不再写出其收敛范围。