[物理]第十章 偏微分方程数值解2.ppt

* 10.3 抛物型方程的差分解法 抛物型方程是指如下形式的方程： 很多实际的物理问题都可以用这类方程描述： 热传导方程： 现以热传导方程为例，介绍抛物型方程的有限差分格式。 设热传导方程： 定解条件 (1) (2) 求（1）满足（2）的解。 10.3.1 矩形网格 用两组平行直线族xj = jh, tk = k? (j = 0, ?1, …， k = 0，?1, …)构成的矩形 网覆盖了xt平面，网格点 （xj, tk）称为结点，简记为 （j, k），h、?为常数，分别 称为空间步长及时间步长， 或称h为沿x方向的步长，称?为沿t方向的步长，， N为正整数。在t = 0上的结点称为边界结点，其余所有属于 内的结点称为内部结点。 t x o h ? (xj, tk) 10.3.2．古典差分格式 于平面区域 上考虑传导方程： a 为正常数 （3） (4) 于结点（j, k）处偏导数与差商之间有如下近似的关系： 利用上述表达式得到 LU 在 (j, k) 处的关系式： (5) 视为 u (xj, tk) 的近似值。 令 ， j = 1, 2,…, N – 1；k = 0, 1, 2, … 则有： （6） 差分方程（6）称为解热传导方程（3）的古典显格式， 它所用到的结点如下图： * * * * （j, k） 将（6）写成便于计算的格式： （7） 称为网比，利用（7）及初边值条件（4） 在网格上的值 （8） 即可算出k = 1, 2,…，各层上的值 。 截断误差阶为 0(? + h2)。 为了提高截断误差的阶，可以利用中心差商： j = 1, 2,…, N – 1；k = 0, 1, 2,… （9） 得到 Richardson 格式，其结点图为： * * * * （j, k） * 截断误差阶为o (?2 + h2)，较古典显格式高。 将（9）式改写成适于计算的形式： j = 1, 2,…, N – 1； k = 1, 2,… r = a? /h2 称为网比，（10）式中出现了三层网格上的值， （10） 才能逐层计算。 故需要事先求得第k－1层的值 和第k层的值 , 如果利用向后差商 j = 1, 2,…, N – 1；k = 0, 1, 2,… (11) (12) j = 1, 2,…, N – 1；k = 0, 1, 2,… 古典隐格式，其结点图为： （j, k） * * * * 截断误差为o (? + h2)，与古典显格式相同。 10.3.3．六点对称格式 取该点的中心差商，从而 对于方程（3）式，在 点列方程， ， 将以上各式代入（3）式得到差分方程： 整理,得 此即六点对称格式，也称为Crank-Nicolson格式，所用结点图为： * * * k + 1 * * * k j + 1 j j – 1 （13） 10.3.4．稳定性 （1）当步长无限缩小时，差分方程的解是否逼近于微分方程 （2）计算过程中产生的误差在以后的计算中是无限增加， 还是可以控制？（稳定性） 的解？（收敛性） 稳定性问题是研究抛物型差分方程的一个中心课题！ 考察 Richardson 格式的稳定性。 用 表示计算 所产生的误差，如果右端 无误差存在， 则 满足： 取 （14） 假设k - 1层之前无误差存在。即 ，而在第k层产生了 误差。 ，这一层其它点也无误差，而且在计算过程 中不再产生新的误差，利用（14）式算出误差? 的传播如下表： r = ? 时 Richardson 格式的误差传播 j j0 – 4 j0 – 3 j0 – 2 j0 –1 j0 j0 +1 j0 +2 j0 +3 j0 +4 k ?? ? -2? ? ? -4? 7? 4? ? ? -6? 17? -24? 17? -6? ? ? -8? 31? -68? 89? -68? 31?